Dimostrazione dello sviluppo di Laplace per i determinanti
Sto avendo qualche problema per comprendere la dimostrazione del teorema di Laplace sui determinanti. La dimostrazione del Sernesi (ottimo testo, per carità) non è delle più chiare per chi, come me, ancora non segue un corso di algebra.
Comunque ho capito come la dimostrazione dello sviluppo secondo una qualsiasi colonna o riga viene ricondotta alla dimostrazione dello sviluppo rispetto alla prima riga.
Ho provato come spesso col Sernesi a rifarmi la dimostrazione da solo e ne ho cavato questo. Più che altro vorrei sapere se i passaggi che faccio sono tutti giusti e formali, soprattutto nel passaggio da una permutazione all'altra.
Data \(\displaystyle A \in M_n(K) \), dove \(\displaystyle K \) è un campo, o al limite anche un dominio, si ha
\[ \displaystyle \det(A) = \sum_{p \in \sigma_n} \text{sign}(p) \prod_{i=1}^n a_{ip(i)} = \sum_{j=1}^n \sum_{p \in \sigma_n | p(1)= j} \text{sign}(p) a_{1j}\prod_{i=2}^n a_{ip(i)} . \]
Definisco \(\displaystyle B \in M_{n-1}(K) \) tale che \[\displaystyle b_{l,t} = \begin{cases} a_{l+1,t}, & \text{se \(t=j\)} \end{cases} \]
dove \(\displaystyle 1 \le l,t \le n-1\).
Definisco inoltre \(\displaystyle s, q \) permutazioni appartenenti a \(\displaystyle \sigma_n \) tali che
\[ s = \begin{pmatrix}
1 & 2 & \dots & j-1 & j & j+1 & \dots & n \\
j & 1 & \dots & j-2 & j-1 & j+1 & \dots & n \end{pmatrix} , \]
\[ q = \begin{pmatrix}
j & 1 & \dots & j-2 & j-1 & j+1 & \dots & n \\
j & q(1) & \dots & q(j-2) &q(j-1) & q(j+1) & \dots & q(n) \end{pmatrix} . \]
Cioè \(\displaystyle q \) è un'arbitraria permutazione che fissa \(\displaystyle j \).
Poiché \[ q \circ s = \begin{pmatrix}
1 & 2 & \dots & j-1 & j & j+1 & \dots & n \\
j & q(1) & \dots & q(j-2) &q(j-1) & q(j+1) & \dots & q(n) \end{pmatrix} = p \in \sigma_n \, | \, p(1)= j \]
si può considerare \(\displaystyle q(1) = p(2), \dots , q(j-2)=p(j-1), q(j-1)=p(j), q(j+1)=p(j+1), \dots , q(n)=p(n) \).
Si ha, inoltre, \(\displaystyle \text{sign}(p)= \text{sign}(q) \text{sign}(s) = (-1)^{j-1} \text{sign}(q) \), dove \(\displaystyle p \) è tale che \(\displaystyle p(1)= j \), dato che \(\displaystyle j-1 \) è il numero di trasposizioni necessarie per realizzare \(\displaystyle s \).
Poiché \(\displaystyle \{p \in \sigma_n \, | \, p(1)= j \} \longleftrightarrow \{q \in \sigma_n \, | , q(j)= j \} \) (la doppia freccia sta ad indicare una corrispondenza biunivoca) si ha
\(\displaystyle \det(A) = \sum_{j=1}^n \sum_{q \in \sigma_n | q(j)= j} (-1)^{j-1} \text{sign}(q) a_{1j} \prod_{i=1}^{j-1} a_{iq(i)} \prod_{i=j+1}^{n} a_{iq(i)} \)
Definendo \(\displaystyle r \) come una permutazione arbitraria appartenente a \(\displaystyle \sigma_{n-1} \)
\[ r = \begin{pmatrix}
1 & \dots & n-1 \\
r(1) & \dots & r(n-1) \end{pmatrix} \]
si ha \(\displaystyle \{ q \in \sigma_n \, | \, q(j)= j \} \longleftrightarrow \{r \in \sigma_{n-1} \} \) ed anche \(\displaystyle \text{sign}(r)=\text{sign}(q) \) dove \(\displaystyle q \) è tale che \(\displaystyle q(j)= j \).
Questo comporta
\[\displaystyle \det(A) = \sum_{j=1}^n a_{1j} (-1)^{1+j} \sum_{r \in \sigma_{n-1}} \text{sign}(r) \prod_{i=1}^{n-1} a_{ir(i)} = \sum_{j=1}^n a_{1j} (-1)^{1+j} \det(B) = \sum_{j=1}^n a_{1j} (-1)^{1+j} \det(A_ {1j}) = \]
\[\displaystyle = \text{sviluppo di Laplace secondo la prima riga.} \]
Più che altro, ripeto, non sono sicuro dei passaggi tra le varie permutazioni.
Grazie a tutti,
Leonardo
P.S. Lo so, ci vuole coraggio per leggere tutto questo
P.P.S. Sia benedetto il copia-incolla.
EDIT.
Ho aggiustato le formule, essendo scritte con il vecchio sistema erano diventate illeggibili.
Ho anche sistemato qualche altro dettaglio.
Questo topic risale a tre anni fa. All'epoca non ero per niente sicuro se questa dimostrazione fosse giusta o meno. Oggi posso dire con ragionevole sicurezza che è giusta (naturalmente se qualcuno dovesse trovarvi degli errori sarei ansioso di conoscerli).
Aggiungo, inoltre, che i primi 3 post di questo topic dovrebbero essere corretti, ma non garantisco della correttezza del resto del topic.
Comunque ho capito come la dimostrazione dello sviluppo secondo una qualsiasi colonna o riga viene ricondotta alla dimostrazione dello sviluppo rispetto alla prima riga.
Ho provato come spesso col Sernesi a rifarmi la dimostrazione da solo e ne ho cavato questo. Più che altro vorrei sapere se i passaggi che faccio sono tutti giusti e formali, soprattutto nel passaggio da una permutazione all'altra.
Data \(\displaystyle A \in M_n(K) \), dove \(\displaystyle K \) è un campo, o al limite anche un dominio, si ha
\[ \displaystyle \det(A) = \sum_{p \in \sigma_n} \text{sign}(p) \prod_{i=1}^n a_{ip(i)} = \sum_{j=1}^n \sum_{p \in \sigma_n | p(1)= j} \text{sign}(p) a_{1j}\prod_{i=2}^n a_{ip(i)} . \]
Definisco \(\displaystyle B \in M_{n-1}(K) \) tale che \[\displaystyle b_{l,t} = \begin{cases} a_{l+1,t}, & \text{se \(t
dove \(\displaystyle 1 \le l,t \le n-1\).
Definisco inoltre \(\displaystyle s, q \) permutazioni appartenenti a \(\displaystyle \sigma_n \) tali che
\[ s = \begin{pmatrix}
1 & 2 & \dots & j-1 & j & j+1 & \dots & n \\
j & 1 & \dots & j-2 & j-1 & j+1 & \dots & n \end{pmatrix} , \]
\[ q = \begin{pmatrix}
j & 1 & \dots & j-2 & j-1 & j+1 & \dots & n \\
j & q(1) & \dots & q(j-2) &q(j-1) & q(j+1) & \dots & q(n) \end{pmatrix} . \]
Cioè \(\displaystyle q \) è un'arbitraria permutazione che fissa \(\displaystyle j \).
Poiché \[ q \circ s = \begin{pmatrix}
1 & 2 & \dots & j-1 & j & j+1 & \dots & n \\
j & q(1) & \dots & q(j-2) &q(j-1) & q(j+1) & \dots & q(n) \end{pmatrix} = p \in \sigma_n \, | \, p(1)= j \]
si può considerare \(\displaystyle q(1) = p(2), \dots , q(j-2)=p(j-1), q(j-1)=p(j), q(j+1)=p(j+1), \dots , q(n)=p(n) \).
Si ha, inoltre, \(\displaystyle \text{sign}(p)= \text{sign}(q) \text{sign}(s) = (-1)^{j-1} \text{sign}(q) \), dove \(\displaystyle p \) è tale che \(\displaystyle p(1)= j \), dato che \(\displaystyle j-1 \) è il numero di trasposizioni necessarie per realizzare \(\displaystyle s \).
Poiché \(\displaystyle \{p \in \sigma_n \, | \, p(1)= j \} \longleftrightarrow \{q \in \sigma_n \, | , q(j)= j \} \) (la doppia freccia sta ad indicare una corrispondenza biunivoca) si ha
\(\displaystyle \det(A) = \sum_{j=1}^n \sum_{q \in \sigma_n | q(j)= j} (-1)^{j-1} \text{sign}(q) a_{1j} \prod_{i=1}^{j-1} a_{iq(i)} \prod_{i=j+1}^{n} a_{iq(i)} \)
Definendo \(\displaystyle r \) come una permutazione arbitraria appartenente a \(\displaystyle \sigma_{n-1} \)
\[ r = \begin{pmatrix}
1 & \dots & n-1 \\
r(1) & \dots & r(n-1) \end{pmatrix} \]
si ha \(\displaystyle \{ q \in \sigma_n \, | \, q(j)= j \} \longleftrightarrow \{r \in \sigma_{n-1} \} \) ed anche \(\displaystyle \text{sign}(r)=\text{sign}(q) \) dove \(\displaystyle q \) è tale che \(\displaystyle q(j)= j \).
Questo comporta
\[\displaystyle \det(A) = \sum_{j=1}^n a_{1j} (-1)^{1+j} \sum_{r \in \sigma_{n-1}} \text{sign}(r) \prod_{i=1}^{n-1} a_{ir(i)} = \sum_{j=1}^n a_{1j} (-1)^{1+j} \det(B) = \sum_{j=1}^n a_{1j} (-1)^{1+j} \det(A_ {1j}) = \]
\[\displaystyle = \text{sviluppo di Laplace secondo la prima riga.} \]
Più che altro, ripeto, non sono sicuro dei passaggi tra le varie permutazioni.
Grazie a tutti,
Leonardo
P.S. Lo so, ci vuole coraggio per leggere tutto questo
P.P.S. Sia benedetto il copia-incolla.
EDIT.
Ho aggiustato le formule, essendo scritte con il vecchio sistema erano diventate illeggibili.
Ho anche sistemato qualche altro dettaglio.
Questo topic risale a tre anni fa. All'epoca non ero per niente sicuro se questa dimostrazione fosse giusta o meno. Oggi posso dire con ragionevole sicurezza che è giusta (naturalmente se qualcuno dovesse trovarvi degli errori sarei ansioso di conoscerli).
Aggiungo, inoltre, che i primi 3 post di questo topic dovrebbero essere corretti, ma non garantisco della correttezza del resto del topic.
Risposte
Ciao Mega-X.
Ti ringrazio per l'impegno ma preferisco comunque aspettare di avere basi più solide di algebra (soprattutto con le permutazioni) prima di riaffrontare il problema.
Leonardo
Ti ringrazio per l'impegno ma preferisco comunque aspettare di avere basi più solide di algebra (soprattutto con le permutazioni) prima di riaffrontare il problema.
Leonardo
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