Dimostrazione della perpendicolarità di due vettori
Buona Domenica.
Ho un esecizio che mi chiede: Si dimostri, data la coppia di vettori $\vec a$ e $\vec b$, che $\vec a$X($\vec a$X$\vec b$) ha la stessa direzione di $\vec b$ solo se $\vec a$ e $\vec b$ sono perpendicolari.
Supponendo che $\vec a$ e $\vec b$ formino un angolo di 90°: $\vec a$X$\vec b$ è perpendicolare ad $\vec a$ e a $\vec b$ per definizione di prodotto vettoriale.
Allora $\vec a$X($\vec a$X$\vec b$) è perpendicolare ad $\vec a$ e ad $\vec a$X$\vec b$, ed è parallelo a $\vec b$ ma di verso opposto ad esso.
Graficamente è facile verificarlo, ma non ho la minima idea di come dimostrare che ciò è vero solo in questo caso.
Grazie.
Ho un esecizio che mi chiede: Si dimostri, data la coppia di vettori $\vec a$ e $\vec b$, che $\vec a$X($\vec a$X$\vec b$) ha la stessa direzione di $\vec b$ solo se $\vec a$ e $\vec b$ sono perpendicolari.
Supponendo che $\vec a$ e $\vec b$ formino un angolo di 90°: $\vec a$X$\vec b$ è perpendicolare ad $\vec a$ e a $\vec b$ per definizione di prodotto vettoriale.
Allora $\vec a$X($\vec a$X$\vec b$) è perpendicolare ad $\vec a$ e ad $\vec a$X$\vec b$, ed è parallelo a $\vec b$ ma di verso opposto ad esso.
Graficamente è facile verificarlo, ma non ho la minima idea di come dimostrare che ciò è vero solo in questo caso.
Grazie.
Risposte
È facile vedere che se \(\mathbf{a}\) e \(\mathbf{b}\) non sono perpendicolari allora \( \mathbf{c} = \mathbf{a} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \) non può essere parallelo a \(\mathbf{b}.\) Infatti \(\mathbf{c}\) è perpendicolare a \(\mathbf{a}\) per la definizione di prodotto vettoriale, per cui, se fosse parallelo a \(\mathbf{b},\) anche \(\mathbf{b}\) dovrebbe esserlo. Ma abbiamo supposto che non lo sia.
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