Dimostrazione della formula di Grassmann
Buonasera. Sto provando a dimostrare la relazione di Grassmann.
Siano $W,W'$ sottospazi di $V$ finitamente generati, con $dimW=r, dimW'=s, i=dim(WcapW'), c=dim(W+W')$
Voglio provare
Considero il caso $WcapW'ne{0}$, dunque, $i=dimWcapW'>0$.
Allora esiste una base $mathbb{B_i}$ non nulla, quindi, $mathbb{B_i}={u_1,...,u_i}.$
Dall'altra parte abbiamo
-$mathbb{B_i}$ ad una base di $W$ cioè $mathbb{B_r}={u_1,...,u_i,v_1,...,v_(r-i)}$
-$mathbb{B_i}$ ad una base di $W'$ cioè $mathbb{B_s}={u_1,...,u_i,w_1,...,w_(s-i)}.$
Ora posto $mathbb{B}=mathbb{B_rcupB_s},$ l'ordine di $mathbb{B}=r+s-i=dimW+dimW'-dimWcapW'.$
Facciamo vedere che $mathbb{B}$ è una base per lo spazio somma $W+W'$.
Quindi, devo far vedere che
1) $mathbb{B}$ è un sistema di generatori di W+W' $<=>\=W+W'$
2) $mathbb{B}$ è un sistema linearmente indipendente.
Ho problemi con il punto 1) con l'inclusione $subseteq$. Ho fatto cosi:
$mathbb{B_r}subseteqW$, $mathbb{B_s}subseteqW' to mathbb{B_rcupB_s}subseteqWcupW' tosubseteq\=:W+W'$
Non lo so se ho fatto bene.
Ora, il rimanente mi è chiaro.
Saluti
Siano $W,W'$ sottospazi di $V$ finitamente generati, con $dimW=r, dimW'=s, i=dim(WcapW'), c=dim(W+W')$
Voglio provare
$c=r+s-i$
Considero il caso $WcapW'ne{0}$, dunque, $i=dimWcapW'>0$.
Allora esiste una base $mathbb{B_i}$ non nulla, quindi, $mathbb{B_i}={u_1,...,u_i}.$
Dall'altra parte abbiamo
$mathbb{B_i}subseteqWcapW' to mathbb{B_i}subseteqW, mathbb{B_i}subseteqW'$,
quindi posso completare-$mathbb{B_i}$ ad una base di $W$ cioè $mathbb{B_r}={u_1,...,u_i,v_1,...,v_(r-i)}$
-$mathbb{B_i}$ ad una base di $W'$ cioè $mathbb{B_s}={u_1,...,u_i,w_1,...,w_(s-i)}.$
Ora posto $mathbb{B}=mathbb{B_rcupB_s},$ l'ordine di $mathbb{B}=r+s-i=dimW+dimW'-dimWcapW'.$
Facciamo vedere che $mathbb{B}$ è una base per lo spazio somma $W+W'$.
Quindi, devo far vedere che
1) $mathbb{B}$ è un sistema di generatori di W+W' $<=>
2) $mathbb{B}$ è un sistema linearmente indipendente.
Ho problemi con il punto 1) con l'inclusione $subseteq$. Ho fatto cosi:
$mathbb{B_r}subseteqW$, $mathbb{B_s}subseteqW' to mathbb{B_rcupB_s}subseteqWcupW' to
Non lo so se ho fatto bene.
Ora, il rimanente mi è chiaro.
Saluti
Risposte
CIa0,
basta ricordarsi come è definita la somma (non per forza diretta) di sottospazi vettoriali.
basta ricordarsi come è definita la somma (non per forza diretta) di sottospazi vettoriali.
Ciao j18eos, io ho problemi nel capire proprio quell'inclusione, non so se ti riferisci a questo con la tua risposta.
Se considero due sottospazi $W, W'$ di $V$, definisco il sottospazio somma di $W$ con $W$, come
il quale è caratterizzato da $ < WcupW'> = {w+w'\:\ w in W, w'in W'}$.
Qui ci sono due possibilità per dimostrare l'uguaglianza
1) maniera diretta, cioè faccio vedere la doppia inclusione mediante la descrizione generale;
2) utiliazzando la caratterizzazione dei sottospazi generati;
Provo con la 1).
In tal caso, $< WcupW'> ={alpha_1x_1+...+alpha_tx_t\:\ t in mathbb{N}, alpha_1,...,alpha_t in mathbb{K}, x_1,...,x_t in WcupW'}.$
Dopodiché posto $L={w+w'\:\ w in W, w'in W'}$, dunque la tesi si riduce a
$ supe $ Sia $w+w' in L $, allora, essendo $t$ variabile in $mathbb{N}$ prendo $t=2$, quindi
$w$ è variabile in $W$, quindi esiste un certo $x_1$ in $WcupW'$, tale che $w=x_1$
$w'$ è variabile in $W'$, quindi esiste un certo $x_2$ in $WcupW'$, tale che $w'=x_2$
inoltre, presi $alpha_1=1=alpha_2$, risulta che
$w+w'=1*w+1*w'=alpha_1x_1+alpha_2x_2 in < WcupW'>$
$sube$Sia $alpha_1x_1+...+alpha_tx_t in < WcupW'>$, per la commutatività e l'associatività, si ha
$alpha_1x_1+...+alpha_tx_t=(alpha_1x_1+...+alpha_sx_s)+(alpha_(s+1)x_(s+1)+...+alpha_tx_t)$
quindi, esistono, $w in W, w' in W'$ per cui,
$w=alpha_1x_1+...+alpha_sx_s$
$w'=alpha_(s+1)x_(s+1)+...+alpha_tx_t$ , allora, $alpha_1x_1+...+alpha_tx_t=w+w' in L .$ $square $
Quindi, ora, la dimostrazione è uguale, cioè, basta cambiare i protagonisti
, cioè,
$mathbb{B}={u_1,...,u_i,v_1,...,v_(r-i),w_1,...,w_(s-i)},$
$ ={alpha_1x_1+...+alpha_tx_t\:\ alpha_1,...,alpha_t in mathbb{K}, x_1,...,x_t in mathbb{B}}$
$sube$Sia $alpha_1x_1+...+alpha_tx_t in < mathbb{B}>$, per la commutatività e l'associatività, si ha
$alpha_1x_1+...+alpha_tx_t=(alpha_1x_1+...+alpha_px_p)+(alpha_(p+1)x_(p+1)+...+alpha_tx_t)$
quindi, esistono, $w in W, w' in W'$ per cui,
$w=alpha_1x_1+...+alpha_px_p$
$w'=alpha_(p+1)x_(p+1)+...+alpha_tx_t$ , allora, $alpha_1x_1+...+alpha_tx_t=w+w' in L$
$supe$ Sia $v in W+W'$, allora esistono $w in W, w' in W'$, si ha $v=w+w'$
$w$ dipende linearmente da $mathbb{B_r}$
$w'$ dipende linearmente da $mathbb{B_s}$
dunque, il vettore $v$ dipende da $mathbb{B}$, quindi, $mathbb{B}$ è un sistema di generatori di $W+W'$.
Va bene?
Se considero due sottospazi $W, W'$ di $V$, definisco il sottospazio somma di $W$ con $W$, come
$W+W':={w+w'\:\ w in W, w'in W'}$
il quale è caratterizzato da $ < WcupW'> = {w+w'\:\ w in W, w'in W'}$.
Qui ci sono due possibilità per dimostrare l'uguaglianza
1) maniera diretta, cioè faccio vedere la doppia inclusione mediante la descrizione generale;
2) utiliazzando la caratterizzazione dei sottospazi generati;
Provo con la 1).
In tal caso, $< WcupW'> ={alpha_1x_1+...+alpha_tx_t\:\ t in mathbb{N}, alpha_1,...,alpha_t in mathbb{K}, x_1,...,x_t in WcupW'}.$
Dopodiché posto $L={w+w'\:\ w in W, w'in W'}$, dunque la tesi si riduce a
${alpha_1x_1+...+alpha_tx_t\:\ t in mathbb{N}, alpha_1,...,alpha_t in mathbb{K}, x_1,...,x_t in WcupW'}=L$
$ supe $ Sia $w+w' in L $, allora, essendo $t$ variabile in $mathbb{N}$ prendo $t=2$, quindi
$w$ è variabile in $W$, quindi esiste un certo $x_1$ in $WcupW'$, tale che $w=x_1$
$w'$ è variabile in $W'$, quindi esiste un certo $x_2$ in $WcupW'$, tale che $w'=x_2$
inoltre, presi $alpha_1=1=alpha_2$, risulta che
$w+w'=1*w+1*w'=alpha_1x_1+alpha_2x_2 in < WcupW'>$
$sube$Sia $alpha_1x_1+...+alpha_tx_t in < WcupW'>$, per la commutatività e l'associatività, si ha
$alpha_1x_1+...+alpha_tx_t=(alpha_1x_1+...+alpha_sx_s)+(alpha_(s+1)x_(s+1)+...+alpha_tx_t)$
quindi, esistono, $w in W, w' in W'$ per cui,
$w=alpha_1x_1+...+alpha_sx_s$
$w'=alpha_(s+1)x_(s+1)+...+alpha_tx_t$ , allora, $alpha_1x_1+...+alpha_tx_t=w+w' in L .$ $square $
Quindi, ora, la dimostrazione è uguale, cioè, basta cambiare i protagonisti
, cioè, $ {w+w'\:\ w in W, w' in W'}$
$mathbb{B}={u_1,...,u_i,v_1,...,v_(r-i),w_1,...,w_(s-i)},$
$
$sube$Sia $alpha_1x_1+...+alpha_tx_t in < mathbb{B}>$, per la commutatività e l'associatività, si ha
$alpha_1x_1+...+alpha_tx_t=(alpha_1x_1+...+alpha_px_p)+(alpha_(p+1)x_(p+1)+...+alpha_tx_t)$
quindi, esistono, $w in W, w' in W'$ per cui,
$w=alpha_1x_1+...+alpha_px_p$
$w'=alpha_(p+1)x_(p+1)+...+alpha_tx_t$ , allora, $alpha_1x_1+...+alpha_tx_t=w+w' in L$
$supe$ Sia $v in W+W'$, allora esistono $w in W, w' in W'$, si ha $v=w+w'$
$w$ dipende linearmente da $mathbb{B_r}$
$w'$ dipende linearmente da $mathbb{B_s}$
dunque, il vettore $v$ dipende da $mathbb{B}$, quindi, $mathbb{B}$ è un sistema di generatori di $W+W'$.
Va bene?
Perdonami, ma non ho il tempo di leggere tutto... Mi riprometto di farlo in giornata.
Sei partita\o bene, nel senso che hai ricordato come si definisce la somma di sottospazi vettoriali; dopodiché basta ricordare che ogni addendo è combinazione lineare dei vettori delle basi \(\displaystyle\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2\), ovvero questa somma di sottospazi è generata dai vettori di \(\displaystyle\mathcal{B}_1\cup\mathcal{B}_2\) e concludi, senza troppi "giri di valzer".
Sei partita\o bene, nel senso che hai ricordato come si definisce la somma di sottospazi vettoriali; dopodiché basta ricordare che ogni addendo è combinazione lineare dei vettori delle basi \(\displaystyle\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2\), ovvero questa somma di sottospazi è generata dai vettori di \(\displaystyle\mathcal{B}_1\cup\mathcal{B}_2\) e concludi, senza troppi "giri di valzer".
Ciao j18eos, grazie per l'interessamento.
Comunque partito.
Questo che dici quì
dovrebbe essere l'inclusione $supe$ della mia dimostrazione. Invece, ho qualche dubbio con l'altra inclusione $sube$, anche se la dimostrazione dovrebbe essere giusta.
Comunque partito.
Questo che dici quì
"j18eos":
dopodiché basta ricordare che ogni addendo è combinazione lineare dei vettori delle basi \( \displaystyle\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2 \), ovvero questa somma di sottospazi è generata dai vettori di \( \displaystyle\mathcal{B}_1\cup\mathcal{B}_2 \) e concludi, senza troppi "giri di valzer".
dovrebbe essere l'inclusione $supe$ della mia dimostrazione. Invece, ho qualche dubbio con l'altra inclusione $sube$, anche se la dimostrazione dovrebbe essere giusta.
Perché sarebbe solo una delle due inclusioni?
Pensa un po' su quanto segue...
\[
\underline{u}\in\mathbb{W}_1+\mathbb{W}_2\iff\exists\underline{w}_1\in\mathbb{W}_1=\langle\mathcal{B}_1\rangle,\underline{w}_2\in\mathbb{W}_2=\langle\mathcal{B}_2\rangle\mid\underline{u}=\underline{w}_1+\underline{w}_2
\]
Pensa un po' su quanto segue...
\[
\underline{u}\in\mathbb{W}_1+\mathbb{W}_2\iff\exists\underline{w}_1\in\mathbb{W}_1=\langle\mathcal{B}_1\rangle,\underline{w}_2\in\mathbb{W}_2=\langle\mathcal{B}_2\rangle\mid\underline{u}=\underline{w}_1+\underline{w}_2
\]
"Yuyu_13":Sì, anche se (come supponevo) ti dilunghi un po'...
[...] Va bene?
Ok, grazie j18eos 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo