Dimostrazione della condizione di parallelismo di vettori liberi
Salve a tutti vorrei il vostro aiuto per capire meglio questa dimostrazione,è molto breve ma qualche punto non mi è chiaro
L'enunciato dice che :
Siano v e w due vettori liberi non nulli,allora essi sono paralleli non nulli se esiste uno scalare non nullo tale che $v =λw$.
per la dimostrazione ho quella diretta e il viceversa.
=>(DIRETTA)
-Ipotesi : $v =λw$ con λ uno scalare non nullo
-Tesi : v e w sono paralleli
Questa è una conseguenza ovvia della tesi,dato che se vale $v =λw$ allora vuol dire che v e w hanno la stessa direzione,quindi v e w sono paralleli.
<=(VICEVERSA)
-Ipotesi : v e w sono paralleli
-Tesi : $v =λw$ con λ uno scalare non nullo
(I MODO)Qui ho i dubbi,cioè non capisco se la tesi è una conseguenza dell'ipotesi,dato che ho pensato che per ipotesi sono paralleli,quindi hanno la stessa direzione e allora esiste uno scalare λ non nullo tale che $v =λw$.
(II MODO)La professoressa invece ci ha dimostrato questo teorema ponendo $λ = |v|/|w|$ e andando a sostituire in $v =λw$,dopo aver sostituisco in $v =λw$ e calcolo il modulo di v trovando $|v| =(|v|/|w|) |w|$
ottenendo l'identità $|v|=|v|$.Questo è quello che non ho capito,questa identità verifica $v =λw$?
Per la seconda parte prendo $λ=|v|/|w|$ e studio il caso in cui è maggiore o minore di zero per determinare quando v e w sono concordi o discordi,e quest'ultima parte diciamo che è chiara e dovrebbe valere per il primo e il secondo modo.
Ma nei due modi della prima parte come potete vedere ho qualche dubbio,spero che qualcuno mi possa aiutare e ringrazio anticipatamente chiunque avrà la cortesia di rispondermi.
L'enunciato dice che :
Siano v e w due vettori liberi non nulli,allora essi sono paralleli non nulli se esiste uno scalare non nullo tale che $v =λw$.
per la dimostrazione ho quella diretta e il viceversa.
=>(DIRETTA)
-Ipotesi : $v =λw$ con λ uno scalare non nullo
-Tesi : v e w sono paralleli
Questa è una conseguenza ovvia della tesi,dato che se vale $v =λw$ allora vuol dire che v e w hanno la stessa direzione,quindi v e w sono paralleli.
<=(VICEVERSA)
-Ipotesi : v e w sono paralleli
-Tesi : $v =λw$ con λ uno scalare non nullo
(I MODO)Qui ho i dubbi,cioè non capisco se la tesi è una conseguenza dell'ipotesi,dato che ho pensato che per ipotesi sono paralleli,quindi hanno la stessa direzione e allora esiste uno scalare λ non nullo tale che $v =λw$.
(II MODO)La professoressa invece ci ha dimostrato questo teorema ponendo $λ = |v|/|w|$ e andando a sostituire in $v =λw$,dopo aver sostituisco in $v =λw$ e calcolo il modulo di v trovando $|v| =(|v|/|w|) |w|$
ottenendo l'identità $|v|=|v|$.Questo è quello che non ho capito,questa identità verifica $v =λw$?
Per la seconda parte prendo $λ=|v|/|w|$ e studio il caso in cui è maggiore o minore di zero per determinare quando v e w sono concordi o discordi,e quest'ultima parte diciamo che è chiara e dovrebbe valere per il primo e il secondo modo.
Ma nei due modi della prima parte come potete vedere ho qualche dubbio,spero che qualcuno mi possa aiutare e ringrazio anticipatamente chiunque avrà la cortesia di rispondermi.
Risposte
Ricordi la definizione di parallelismo per spazi affini?
PS: se un'implicazone è vera, la tesi è sempre la conseguenza delle ipotesi.
Secondo me comunque nel secondo modo non puoi concludere nulla, addirittura stai già assumendo che sia esista $lambdainK$ non nullo tale che $v=lambdaw$
PS: se un'implicazone è vera, la tesi è sempre la conseguenza delle ipotesi.
Secondo me comunque nel secondo modo non puoi concludere nulla, addirittura stai già assumendo che sia esista $lambdainK$ non nullo tale che $v=lambdaw$
"anto_zoolander":
Ricordi la definizione di parallelismo per spazi affini?
PS: se un'implicazone è vera, la tesi è sempre la conseguenza delle ipotesi.
Secondo me comunque nel secondo modo non puoi concludere nulla, addirittura stai già assumendo che sia esista $lambdainK$ non nullo tale che $v=lambdaw$
allora probabilmente nel secondo modo la professoressa ha dato per scontato che $v=lambdaw$ sia una conseguenza della tesi e poi ha studiato il segno ponendo quel $lambda$ uguale al rapporto dei moduli.
Per quanto riguarda gli spazi affini non ne abbiamo fatti quindi mi trovi impreparato
.
Diciamo che due spazi affini $A,B$ sono paralleli se $Giac(A)subseteqGiac(B)$ o $Giac(B)subseteqGiac(A)$
Penso che in questo caso si parli delle rette vettoriali generate da $w,v$
dunque l'idea potrebbe essere data dal fatto che se $w,v$ sono paralleli allora $subseteq$ o viceversa e quindi si ha la tesi.
Dall'altro lato se $v=lambdaw =>subseteq$ e quindi sono paralleli.
Naturalmente dipende da come parliamo di parallelismo...
Penso che in questo caso si parli delle rette vettoriali generate da $w,v$
dunque l'idea potrebbe essere data dal fatto che se $w,v$ sono paralleli allora $
Dall'altro lato se $v=lambdaw =>
Naturalmente dipende da come parliamo di parallelismo...
"anto_zoolander":
Diciamo che due spazi affini $A,B$ sono paralleli se $Giac(A)subseteqGiac(B)$ o $Giac(B)subseteqGiac(A)$
Penso che in questo caso si parli delle rette vettoriali generate da $w,v$
dunque l'idea potrebbe essere data dal fatto che se $w,v$ sono paralleli allora $subseteq $ o viceversa e quindi si ha la tesi.
Dall'altro lato se $v=lambdaw =>subseteq $ e quindi sono paralleli.
Naturalmente dipende da come parliamo di parallelismo...
queste cose la professoressa non le ha fatte fare e vorrei evitare di portare argomenti totalemnte nuovi,come credi che trovei procedere tra i due modi per dimostrare il teorema?
Il primo.
Perché se due vettori hanno la stessa direzione vuol dire che hanno la stessa giacitura e per tanto si possono scrivere l'uno come combinazione lineare dell'altro.
Perché se due vettori hanno la stessa direzione vuol dire che hanno la stessa giacitura e per tanto si possono scrivere l'uno come combinazione lineare dell'altro.
Grazie mille.
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