Dimostrazione del teorema spettrale
Buongiorno a tutti 
Devo portare per l'esame anche la domostrazione del teorema spettrale, ma sul libro è riportato solo l'enunciato e dagli appunti della mia prof non capisco molto... sono un po confusionari.
allora so che il teorema spettrale dice che:
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n su un campo K , e sia
f: V $->$ V un endomorfismo.
L'endomofrsimo è diagonalizzabile se e solo se (cioè le seguenti affermazioni son equivalenti) :
1) $AA$ $\lambda_i$ autovalore ma($\lambda_i$) = mg($\lambda_i$)
2) la somma delle molteplicità geometriche è uguale a n
3) V deve essere somma diretta dei suoi autospazi.
Vi chiedo se potete aiutarmi nel dimostrare le varie implicazioni.
Se potesse aiutarmi vi sarei grato.
Grazie ancora per la disponibilità
Buona giornata
Devo portare per l'esame anche la domostrazione del teorema spettrale, ma sul libro è riportato solo l'enunciato e dagli appunti della mia prof non capisco molto... sono un po confusionari.
allora so che il teorema spettrale dice che:
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n su un campo K , e sia
f: V $->$ V un endomorfismo.
L'endomofrsimo è diagonalizzabile se e solo se (cioè le seguenti affermazioni son equivalenti) :
1) $AA$ $\lambda_i$ autovalore ma($\lambda_i$) = mg($\lambda_i$)
2) la somma delle molteplicità geometriche è uguale a n
3) V deve essere somma diretta dei suoi autospazi.
Vi chiedo se potete aiutarmi nel dimostrare le varie implicazioni.
Se potesse aiutarmi vi sarei grato.
Grazie ancora per la disponibilità
Buona giornata
Risposte
(In genere per "teorema spettrale" si intende un'altra cosa, precisamente una famiglia di teoremi sugli operatori lineari normali/hermitiani/simmetrici.)
Attenzione al punto 1): devi richiedere che la somma delle molteplicità algebriche raggiunga la dimensione dello spazio $V$. Controesempio: la matrice reale $((0, -1), (1, 0))$ non è diagonalizzabile (sapresti dire perché senza fare conti ma ragionando geometricamente? A quale trasformazione del piano in sé è associata quella matrice?) ma non avendo autovalori reali, è vero a vuoto che $"ma"(lambda_i)="mg"(lambda_i)$ per ogni autovalore reale $lambda_i$.
Nota che questa limitazione cade se consideriamo la matrice precedente come complessa.
Attenzione al punto 1): devi richiedere che la somma delle molteplicità algebriche raggiunga la dimensione dello spazio $V$. Controesempio: la matrice reale $((0, -1), (1, 0))$ non è diagonalizzabile (sapresti dire perché senza fare conti ma ragionando geometricamente? A quale trasformazione del piano in sé è associata quella matrice?) ma non avendo autovalori reali, è vero a vuoto che $"ma"(lambda_i)="mg"(lambda_i)$ per ogni autovalore reale $lambda_i$.
Nota che questa limitazione cade se consideriamo la matrice precedente come complessa.
la matrice reale che hai scritto sopra non sarebbe diagonalizzabile perchè non ammette autovalori distinti ... vero??
però non ho tanto ben capito cio che hai detto dopo... cmq ti ringrazio dissonance
però non ho tanto ben capito cio che hai detto dopo... cmq ti ringrazio dissonance
No, no. Che razza di risposta è questa? Allora secondo questa teoria la matrice identica $((1, 0), (0, 1))$ non sarebbe diagonalizzabile, in quanto essa "non ammette autovalori distinti".
Ragiona geometricamente. Hai mai visto le matrici $((cos theta, -sin theta), (sin theta, cos theta))$? Se no, immagina un po'...a quale trasformazione del piano ($RR^2$) in sé possono essere associate?
Ragiona geometricamente. Hai mai visto le matrici $((cos theta, -sin theta), (sin theta, cos theta))$? Se no, immagina un po'...a quale trasformazione del piano ($RR^2$) in sé possono essere associate?
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