Dimostrazione del Teorema di Gram-Schmidt

[gramschmidt91]

Salve a tutti, volevo sapere se è corretta la seguente dimostrazione del teorema di Gram-Schmidt sull'esistenza di una base ortogonale di V, spazio vettoriale di dimensione finita n.

Sia $ V $ uno spazio vettoriale reale, $ dim_RR (V)= n $ con $ n >= 2 $ .
Sia $ B=(x_1,...x_n) $ una sua base. E' sempre possibile ottenere una base ortogonale di $ V $

Dimostro l'asserto per n = 2

Pongo $ y_1 = x_1 $ e $ y_2 = x_2 - ()/()* y_1 $

Risulta che $ != 0_RR $ e $ = = O_RR $ in quanto $ y_1 _|_ y_2 $ e sono sicuro che $ y_2 != O_VV $ perchè altrimenti per assurdo i vettori della base $ B $ sarebbero linearmente dipendenti.

Ho quindi trovato una coppia di vettori : $ (y_1 , y_2) $ lin. ind. e ortogonali tra loro e si trova che $ {y_1, y_2 } sube <{x_1, x_2}> $
Per ipotesi d'induzione pongo di aver trovato come sopra una famiglia di vettori $ (y_i)_(1<=i<=k)in V $ tali che $ AA i = 1.....k $ $ y_i!=O $ e $ AAi,j=1...k $ risulta che $ y_i _|_ y_j $ e inoltre ricavo analogamente a quanto fatto sopra risulta $ {y_1,...,y_k } sube <{x_1,...x_k}> $.
Dimostro ora che vale l'asserto per $y_(k+1) $ e definisco $ y_(k+1)= x_(k+1)- sum_(h = 1)^(k)(()/()* y_h) $

Anche qui posso dimostrare che $ != O $ ed è positivo.

Sicuramente $ y_(k+1) != 0 $ altrimenti avrei che l'elemento della base $ x_(k+1) $ è combinazione lineare degli altri elementi della base e ciò è un assurdo!

Si può dimostrare che $ AA t = 1 ... k $ otteniamo $ y_(k+1) _|_ y_t $.

Posso scrivere (e il perché mi è poco chiaro) che $ y_(k+1)in <(x_(k+1),y_1,...,y_k )> $ (perche devo inserire anche $ x_(k+1) $ nel sottospazio generato dai vettori y? )
Ho ottenuto ora una famiglia di vettori lin. indip. con vettori ortogonali tra loro che costituisce base di $ V $ come volevasi dimostrare.

Un altro mio dubbio è questo (forse banale): all'inizio della dimostrazione io trovo che $ = = 0 $ ma se già i due vettori della base di partenza hanno prodotto scalare nullo, essi sono già ortogonali. A che mi serve trovare la famiglia di vettori $ y_i $ ortogonale?

GRAZIE MILLE a chiunque risponda

[cirasa]

Ciao e benvenuto nel forum

La prima parte della dimostrazione è giusta. Naturalmente ci sarebbero i conti per dimostrare l'ortogonalità dei vettori, ma immagino che lì non ci siano problemi, visto che li hai omessi.
Un solo piccolo appunto: non hai osservato al passo $n=2$ che $y_1,y_2$ sono linearmente indipendenti (in effetti non è molto difficile verificarlo visto che vettori non nulli a due a due ortogonali sono linearmente indipendenti).
E allo stesso modo non hai speciicato che $y_1,...,y_{k+1}$ sono linearmente indipendenti.

Veniamo alle tue domande:

"gramschmidt91":Posso scrivere (e il perché mi è poco chiaro) che $ y_(k+1)in <(x_(k+1),y_1,...,y_k )> $ (perche devo inserire anche $ x_(k+1) $ nel sottospazio generato dai vettori y? )

E' una conseguenza dell'espressione di $y_{k+1}$ data da:
$ y_(k+1)= x_(k+1)- sum_(h = 1)^(k)(()/()* y_h) $
$y_{k+1}$ è combinazione lineare di $x_{k+1}$ e dei vettori $y_1,...,y_k, quindi $ y_(k+1)in <(x_(k+1),y_1,...,y_k )> $.

"gramschmidt91":Un altro mio dubbio è questo (forse banale): all'inizio della dimostrazione io trovo che $ = = 0 $ ma se già i due vettori della base di partenza hanno prodotto scalare nullo, essi sono già ortogonali. A che mi serve trovare la famiglia di vettori $ y_i $ ortogonale?

Osserva che se $x_1,x_2$ sono ortogonali in partenza, non trovi altri vettori ma resti sempre con gli stessi vettori. Precisamente
$ y_1 = x_1 $ e $ y_2 = x_2 - ()/()* y_1 =x_2$
cioè
$y_1=x_1$ e $y_2=x_2$.
Praticamente l'algoritmo di Gram-Schmidt non "rompe" l'ortogonalità.

[gramschmidt91]

Grazie mille per le tue spiegazioni. Hai chiarito ogni mio dubbio!!

Per quanto riguarda il fatto che ho omesso la dimostrazione della lineare indipendenza sia all'inizio che nel passo successivo, come hai già capito è per il fatto che la dimostrazione era abbastanza banale e ho preferito concentrarmi a scrivere i passaggi sui quali avevo qualche dubbio! Grazie ancora per l'aiuto!!

[cirasa]

Bene, lieto di esserti stato utile. Ciao!