Dimostrazione con nuclei di matrici

[Benihime1]

Salve, sono in difficoltà col dimostrare la seguente equivalenza:
Siano $A \in M_{m,n}(CC)$ e $C\in M_{p,n}(CC)$ 2 matrici, allora vale
$ker(A) \sube ker(C) \iff C(I-A^+A)=0$
dove $A^+$ indica la pseudoinversa di Moore-Penrose di $A$

Ammesso di aver ragionato correttamente, ho dimostrato l'implicazione $C(I-A^+A)=0 => ker(A) \sube ker(C)$ :
poichè $C(I-A^+A)=0 iff C=CA^+A$ allora
$x \in ker(A) => Ax=0 => CA^+Ax=0 => Cx=0 => x \in ker(C)$

ma non riesco a dimostrare l'implicazione inversa

suggerimenti?

[elvis3]

L'operatore \( A^+ A \, \colon \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n\) è l'identità su \((\ker A)^\perp\) ed è zero su \(\ker A\). Dunque l'immagine di \(I - A^+ A\) è \(\ker A\).

https://en.wikipedia.org/wiki/Moore%E2%80%93Penrose_pseudoinverse#Geometric_construction

[Benihime1]

grazie dell'aiuto