Dimostrazione con le matrici
Ciao a tutti, avrei bisogno che mi aiutaste a capire la seguente affermazione.
Data una matrice $A in M_(m,n)(CC)$ di rango r, considero la matrice unitaria $U$ tale che
$A^H*A=U((D,0),(0,0))U^H$ con $D$ matrice diagonale non singolare di ordine r.
Costruisco poi la matrice $X=U((0,0),(0,I))U^H$ con $I$ matrice identica di ordine n-r.
Allora vale che $AX=0$
Non riesco a capire perchè ciò sia vero, mi date una mano?
Data una matrice $A in M_(m,n)(CC)$ di rango r, considero la matrice unitaria $U$ tale che
$A^H*A=U((D,0),(0,0))U^H$ con $D$ matrice diagonale non singolare di ordine r.
Costruisco poi la matrice $X=U((0,0),(0,I))U^H$ con $I$ matrice identica di ordine n-r.
Allora vale che $AX=0$
Non riesco a capire perchè ciò sia vero, mi date una mano?
Risposte
Ciao! Immagino che con $H$ intendi il trasposto coniugato.
Prima osservo che (*) se $M$ è una matrice qualsiasi allora $M^H M$ è semi-definita positiva, infatti $x^H M^H M x = (Mx)^H (Mx)$ è chiaramente un numero non negativo.
Ora osservo che sostituendo eventualmente $A$ con $AU$ posso supporre che sia $U=I$.
Scrivo $A = ((R,S),(T,V))$, allora da $A^HA = ((D,0),(0,0))$ segue uguagliando le entrate che $S^HS+V^HV = 0$, cioè $S^HS = -V^HV$. Ma per (*) le due matrici $S^HS$ e $V^HV$ sono semidefinite positive, quindi necessariamente $S^HS=0=V^HV$.
Ora ti dovrebbe risultare facile concludere.
Prima osservo che (*) se $M$ è una matrice qualsiasi allora $M^H M$ è semi-definita positiva, infatti $x^H M^H M x = (Mx)^H (Mx)$ è chiaramente un numero non negativo.
Ora osservo che sostituendo eventualmente $A$ con $AU$ posso supporre che sia $U=I$.
Scrivo $A = ((R,S),(T,V))$, allora da $A^HA = ((D,0),(0,0))$ segue uguagliando le entrate che $S^HS+V^HV = 0$, cioè $S^HS = -V^HV$. Ma per (*) le due matrici $S^HS$ e $V^HV$ sono semidefinite positive, quindi necessariamente $S^HS=0=V^HV$.
Ora ti dovrebbe risultare facile concludere.
Lasciami riscrivere quello che mi hai scritto così mi dici se ho capito i passaggi omessi 
Visto che $A^HA=U((D,0),(0,0))U^H$ allora $((D,0),(0,0))=(AU)^H(AU)=((R^H,T^H),(S^H,V^H))((R,S),(T,V))=((R^HR+T^HT,R^HS+T^HV),((R^HS+T^HV)^H,S^HS+V^HV))$
quindi in particolare $S^HS+V^HV=0 rArr AU=((R,0),(T,0))$
Siccome $X=U((0,0),(0,I))U^H$, allora $((0,0),(0,I))=U^HXU$.
Quindi
$0=((R,0),(T,0))((0,0),(0,I))=AUU^HXU=AXU$
Ma da qui posso concludere che $AX=0$? perchè $U$ è non degenere?
Visto che $A^HA=U((D,0),(0,0))U^H$ allora $((D,0),(0,0))=(AU)^H(AU)=((R^H,T^H),(S^H,V^H))((R,S),(T,V))=((R^HR+T^HT,R^HS+T^HV),((R^HS+T^HV)^H,S^HS+V^HV))$
quindi in particolare $S^HS+V^HV=0 rArr AU=((R,0),(T,0))$
Siccome $X=U((0,0),(0,I))U^H$, allora $((0,0),(0,I))=U^HXU$.
Quindi
$0=((R,0),(T,0))((0,0),(0,I))=AUU^HXU=AXU$
Ma da qui posso concludere che $AX=0$? perchè $U$ è non degenere?
Sì puoi scrivere $0 = 0U^H = AXUU^H = AX$ facile no?
Non hai scritto come passi da $S^HS+V^HV = 0$ a $S^HS = 0 = V^HV$ usando la positiva semidefinitezza e come da qui passi a $S=0$ e $V=0$, il resto è giusto.
Non hai scritto come passi da $S^HS+V^HV = 0$ a $S^HS = 0 = V^HV$ usando la positiva semidefinitezza e come da qui passi a $S=0$ e $V=0$, il resto è giusto.
In effetti 2 parole occorrerebbero 
allora...se $s_1,...s_n$ sono le colonne della matrice $S$ allora
$S^HS=((|s_1|^2,#,...,#),(#,|s_2|^2,...,#),(...,...,...,...),(#,...,#,|s_n|^2))$
e analogamente per $V^HV$
la matrice $S^HS+V^HV=0$ deve avere in particolare diagonale nulla, cioè $|s_i|^2+|v_i|^2=0$ per ogni i $ rArr |s_i|=|v_i|=0 rArr s_i=v_i=0$
può andare?
allora...se $s_1,...s_n$ sono le colonne della matrice $S$ allora
$S^HS=((|s_1|^2,#,...,#),(#,|s_2|^2,...,#),(...,...,...,...),(#,...,#,|s_n|^2))$
e analogamente per $V^HV$
la matrice $S^HS+V^HV=0$ deve avere in particolare diagonale nulla, cioè $|s_i|^2+|v_i|^2=0$ per ogni i $ rArr |s_i|=|v_i|=0 rArr s_i=v_i=0$
può andare?
Sì può andare.
grazie mille 
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