Dimostrazione che un insieme sia un sottospazio vettoriale
Buonasera a tutti, volevo chiedervi un aiuto su un esercizio che sto cercando di risolvere.
"Si verifichi che l'insieme A = {(x,y,x+y)} sia un sottospazio vettoriale di R3 e se ne determini una base."
Ho dimostrato facilmente che contiene il vettore nullo perchè (0,0,0) sostituito in (x,y,x+y) è uguale a se stesso.
Non ho capito bene come dimostrare che è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare.
Per quanto riguarda la base non posso considerare z=x+y e assegnando due parametri liberi a x e y me la ricavo?
Grazie mille a tutti.
"Si verifichi che l'insieme A = {(x,y,x+y)} sia un sottospazio vettoriale di R3 e se ne determini una base."
Ho dimostrato facilmente che contiene il vettore nullo perchè (0,0,0) sostituito in (x,y,x+y) è uguale a se stesso.
Non ho capito bene come dimostrare che è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare.
Per quanto riguarda la base non posso considerare z=x+y e assegnando due parametri liberi a x e y me la ricavo?
Grazie mille a tutti.
Risposte
Per la chiusura rispetto alla somma prendi due vettori che stanno in $A$, sommali e vedi cosa succede. Il prodotto per uno scalare è immediato.
Per la base, o noti che ogni vettore di quello spazio può essere scritto come $((x),(y),(x+y))=x*((1),(0),(1)) + y*((0),(1),(1))$ oppure fai come dici te assegnando parametri liberi. In ogni caso, ottiene un sottospazio vettoriale di dimensione $2$.
Per la base, o noti che ogni vettore di quello spazio può essere scritto come $((x),(y),(x+y))=x*((1),(0),(1)) + y*((0),(1),(1))$ oppure fai come dici te assegnando parametri liberi. In ogni caso, ottiene un sottospazio vettoriale di dimensione $2$.
Ad ogni modo, una cosa fondamentale è notare che quando hai componenti del vettore omogeneee di grado $1$, questo è sempre un sottospazio spazio vettoriale.
Grazie feddy per essere intervenuto.
Ho trovato la base con i parametri liberi e mi trovo con quanto scritto da te.
Ho problemi ancora con la dimostrazione che è chiuso rispetto alle operazioni di composizione.
Ovvero:
$a1=(x,y,x+y)$ $a2=(x',y',x'+y')$
allora a1+a2 sarà $a1+a2=x+x',y+y',(x+x')+(y+y')$
A questo punto cosa devo fare?
Grazie tante.
Ho trovato la base con i parametri liberi e mi trovo con quanto scritto da te.
Ho problemi ancora con la dimostrazione che è chiuso rispetto alle operazioni di composizione.
Ovvero:
$a1=(x,y,x+y)$ $a2=(x',y',x'+y')$
allora a1+a2 sarà $a1+a2=x+x',y+y',(x+x')+(y+y')$
A questo punto cosa devo fare?
Grazie tante.
Come vedi quel vettore somma ha proprio la forma di un generico vettore che sta in $A$...
Grazie ho capito.Per il prodotto stessa cosa:
$lambda€R$ $a€A$ $lambdaa €A$
$lambda(x,y,x+y)$
$(lambdax,lambday,lambdax + lambday)$
giusto?
$lambda€R$ $a€A$ $lambdaa €A$
$lambda(x,y,x+y)$
$(lambdax,lambday,lambdax + lambday)$
giusto?
Sistema i $ che non capisco così, comunque sì il procedimento è identico
Grazie tante.
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