Dimostrazione che U è un sottospazio vettoriale

[maluz1]

Salve a tutti,
la prima parte di un esercizio ha questa come consegna:
Sia $ R_3[x] $ lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali nella variabile x,
di grado minore o uguale a 3.
1) Si mostri che $ U ={p(x)in R_3[x]|p(1)=p(-1)=0} $ è un sottospazio vettoriale di $ R_3[x] $

La soluzione era questa: Per mostrare che U è un sottospazio dobbiamo mostrare che $ lambda p(x)+mu q(x)in U $ per ogni scelta di $ p(x), q(x)in U $ e per ogni $ lambda, mu in R $(fin qui ok). Ciò è immediato, essendo

$ (lambda p(x)+mu q(x))(1) = lambda p(1) + mu q(-1) = 0 $
$ (lambda p(x)+mu q(x))(2) = lambda p(1) + mu q(-1) = 0 $

potreste spiegarmi questo ultimo passaggio? Grazie

[cooper1]

sfrutta la linearità dell'applicazione e spezza la somma di due polinomi in due. a questo punto tu sai che due generici polinomi valutati in $+- 1$ si annullano. allora hai che $lambda*0+mu*0=0$ che verifica la condizione di appartenenza ad $U$.
non so perchè l'abbia fatta due volte però.

[maluz1]

Grazie per la risposta, ma non ho capito una cosa: la seconda equazione è corretta? Perchè in realtà valuta l'espressione $ lambda p(x) + mu q(x) $ in 2. Ma in 2 non sappiamo come si comporta il polinomio, o sbaglio?

[cooper1]

non ho capito perchè l'abbia messa in effetti io l'avrei dimostrato senza la seconda