Dimostrazione che K[x] non è finitamente generato

[RP-1]

Buongiorno,

so che $\mathbb{K}[x]$, insieme dei polinomi su $\mathbb{K}$ nell'indeterminata $x$, non è finitamente generato in quanto qualunque sistema $S$ di generatori si consideri, con $t$ massimo grado tra i polinomi di $S$, non è possibile generare polinomi di grado $s>t$.
Come si dimostra tale risultato?

[vict85]

Stai vedendo \(K[x]\) con quale struttura algebrica? Spazio vettoriale?

[j18eos]

"arnett":...una c.l. di due polinomi dello stesso grado $ d $ ha grado o $ d $ o $ 0 $.

Ha grado al più \(\displaystyle d\); esempio: \(\displaystyle x^2\) sommato \(\displaystyle -x^2+x-1\) ha grado \(\displaystyle1\).

@RP-1 Hai finito, se consideri \(\displaystyle\mathbb{K}[x]\) come spazio vettoriale sul campo \(\displaystyle\mathbb{K}\).