Dimostrazione base

[PeppeFuoco]

Provare che se $V$ è uno spazio vettoriale di $dim 1$ su $K$ (campo), allora qualunque vettore $v$ di $V$ non nullo costituisce una base per $V$.

Io ho fatto cosi, ma non so se sia giusto:

Hp: $dimV=1$
Th: ogni $v$ di $V$ è base

Per dimostrare che ogni vettore $v$ è base, devo verificare che sia 1) linearmente indipendente e 2) generatore. Quindi...

1) per ogni $v$ [tex]\neq 0[/tex] di $V$ e preso [tex]\lambda[/tex] scalare

[tex]\lambda v = 0[/tex] se e soltanto se [tex]\lambda=0[/tex] quindi $v$ lin. ind.

2) PER ASSURDO
[tex]v_2[/tex] non appartiene a [tex]L(v)[/tex] allora [tex]v_2[/tex] lin. ind. quindi [tex]V=L(v, v_2)[/tex] il che è impossibile dato che la dimensione di $V$ è 1.

E' corretta la dimostrazione?

[Magma1]

Prova a partire dalla definizione di base e dalla definizione di vettori linearmente indipendenti (un vettore nullo è l.i. o l.d.?).

[PeppeFuoco]

"Magma":Prova a partire dalla definizione di base e dalla definizione di vettori linearmente indipendenti (un vettore nullo è l.i. o l.d.?).

Bella domanda Magma, non saprei rispondere. Possibile sia tutti e due?

[Magma1]

"PeppeFuoco":[quote="Magma"]Prova a partire dalla definizione di base e dalla definizione di vettori linearmente indipendenti (un vettore nullo è l.i. o l.d.?).

Bella domanda Magma, non saprei rispondere. Possibile sia tutti e due? [/quote]
Allora prova a pensare qual è la definizione di vettori l.i. e l.d. e la risposta vine da sé; in caso così non fosse ti do una mano (prova a scriverle le definizioni: aiuta molto!).

"PeppeFuoco":
2) PER ASSURDO
[tex]v_2[/tex] non appartiene a [tex]L(v)[/tex] allora [tex]v_2[/tex] lin. ind. quindi [tex]V=L(v, v_2)[/tex] il che è impossibile dato che la dimensione di $V$ è 1.

Qual è il fatto, o meglio il lemma, che ti permette di dire che $v, v_2$ non possono essere ambedue l.i.?