Dimostrazione banale

[_Tipper]

Siano $X$ e $Y$ due insiemi di vettori di uno spazio vettoriale $\mathcal{V}$
Indico con $L(X)$ e $L(Y)$ gli spazi lineari generati rispettivamente da $X$ e $Y$.
Devo dimostrare che se $L(X) = L(Y)$ e $Y \subset X$ allora l’insieme X è linearmente dipendente.
Io farei cosi:
sia $x$ un vettore appartenente a $X$ ma non appartenente a $Y$.
Dato che $L(X) = L(Y)$ allora $x \in L(Y)$, e quindi $x$ si può scrivere come combinazione lineare dei vettori di $Y$.
Dato che tutti i vettori di $Y$ appartengono anche ad $X$ allora il vettore $x \in X$ è scritto come combinazione lineari degli altri vettori di $X$, pertanto $X$ è un insieme di vettori dipendenti.
Secondo voi questa dimostrazione va bene?
Se no come si potrebbe dimostrare?

Grazie

[lorandrum]

Direi di sì, in maniera più formale puoi considerare $X$ di dimensione finita.
$X$ è un insieme di questo tipo $X={v_1,...,v_n}$, mentre Y essendovi incluso sarà $Y={v_1,...v_r}$, con $r<=n$. A meno di riordinamenti, ovviamente.
Se i due spazi lineari coincidono allora $EE alpha_i$ e $beta_i$ t.c.
$alpha_1v_1+...+alpha_rv_r=beta_1v_1+...+beta_rv_r+beta_(r+1)v_(r+1)+...+beta_nv_n$.
Da cui:
$(beta_1-alpha_1)v_1+...+(beta_r-alpha_r)v_r+beta_(r+1)v_(r+1)+...+beta_nv_n=0$.
E quindi la tesi.