Dimostrazione $(AxB)^-1$ = $B^-1$ x $A^-1$

[O grande]

Ciao a tutti,

Volevo chiedervi questa dimostrazione della proprietà dell'inversa del prodotto di matrici
$(AxB)^-1$ = $B^-1$ x $A^-1$
dove A e B sono matrici quadrate di ordine n su un generico campo $K$,
molte grazie.

[cirasa]

Per verificare che due matrici siano l'una l'inversa dell'altra, devi verificare che, moltiplicate fra loro diano la matrice unità.
Nel tuo caso devi verificare che $B^{-1}A^{-1}$ è l'inversa di $AB$. Prova a moltiplicarle fra loro sfruttando qualche proprietà del prodotto righe per colonne fra matrici...

[apatriarca]

Ma non è necessario ricorrere al calcolo diretto:
$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = A A^{-1} = I$
$(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}B = I$
$(B^{-1}A^{-1})$ è quindi inverso moltiplicativo di $(AB)$ e per l'unicità dell'inverso $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.
Questa proprietà è valida in qualsiasi gruppo, abbiamo fatto uso infatti solo della proprietà di esistenza e unicità dell'elemento inverso e dell'elemento neutro e l'associatività del prodotto.

[O grande]

Vi ringrazio molto per il suggerimento e per la soluzione,
mi avete chiarito questo dubbio sull'inversa del prodotto
di matrici.

[cirasa]

"apatriarca":Ma non è necessario ricorrere al calcolo diretto:
(...)

Intendevo dire proprio questo.
Con "sfrutta le proprietà del prodotto righe per colonne fra matrici" volevo dire "tieni conto che il prodotto fra matrici è associatvo e che $I$ è l'unità!"

Un'altra piccola osservazione (forse un po' pignola ) è la seguente.
nel caso del prodotto fra matrici (in generale non vale in altre situazioni) vale l'implicazione
$AB=I \Rightarrow\ BA=I$.
Quindi era sufficiente calcolare solo uno dei due prodotti.

Ciao!

[apatriarca]

Vale per tutti i gruppi in effetti. Ho messo entrambe le dimostrazioni per mostrare direttamente che funzionava in entrambe le direzioni, ma era sufficiente dimostrare uno solo dei due casi.