Dimostrazione automorfismi e matrici invertibili
Salve ragazzi avrei bisogno di aiuto nel completare la seguente dimostrazione.
Sia $(V,+,*)$ uno spazio vettoriale su $K$ e sia $f:V->V$ un endomorfismo. Si dimostra le seguente uguaglianza.
$f$ è monomorfismo $hArr f$ è epimorfismo $hArr f$ è automorfismo $hArr$ la matrice $A_f$ è invertibile.
La parte che mi interessa è l'ultima doppia implicazione infatti ci è stata spiegata e dimostrata una proposizione sugli omomorfismi tra spazi con dimensione uguale ovvero che
$f$ è monomorf. $hArr f$ è epimorf. $hArr f$ è isomorf.
e anche una proposizione sugli isomorfismi ovvero
$f$ è isomorfismo $rArr$ la matrice $A_f$ è invertibile e la sua inversa è la matrice di $f^-1$. E si dimostra con la composizione di funzioni.
Quello che non riesco a dimostrare è l'altra implicazione ovvero $A_f$ è invertibile $rArr f$ è automorfismo. Come posso muovermi?
Vi ringrazio anticipatamente,
Paolo.
Sia $(V,+,*)$ uno spazio vettoriale su $K$ e sia $f:V->V$ un endomorfismo. Si dimostra le seguente uguaglianza.
$f$ è monomorfismo $hArr f$ è epimorfismo $hArr f$ è automorfismo $hArr$ la matrice $A_f$ è invertibile.
La parte che mi interessa è l'ultima doppia implicazione infatti ci è stata spiegata e dimostrata una proposizione sugli omomorfismi tra spazi con dimensione uguale ovvero che
$f$ è monomorf. $hArr f$ è epimorf. $hArr f$ è isomorf.
e anche una proposizione sugli isomorfismi ovvero
$f$ è isomorfismo $rArr$ la matrice $A_f$ è invertibile e la sua inversa è la matrice di $f^-1$. E si dimostra con la composizione di funzioni.
Quello che non riesco a dimostrare è l'altra implicazione ovvero $A_f$ è invertibile $rArr f$ è automorfismo. Come posso muovermi?
Vi ringrazio anticipatamente,
Paolo.
Risposte
Ovviamente hai dimenticato "di dimensione finita" introducendo $V$.
Detto questo, la formula delle dimensioni ti dice che \(\dim K +\dim I = \dim V\) (se $K$ è il nucleo di $f$ e $I$ la sua immagine), quindi se $f$ è iniettiva, \(\dim I = \dim V\), cioè è suriettiva, e se $f$ è suriettiva, \(dim K = 0\), cioè $f$ è iniettiva.
Detto questo, la formula delle dimensioni ti dice che \(\dim K +\dim I = \dim V\) (se $K$ è il nucleo di $f$ e $I$ la sua immagine), quindi se $f$ è iniettiva, \(\dim I = \dim V\), cioè è suriettiva, e se $f$ è suriettiva, \(dim K = 0\), cioè $f$ è iniettiva.
"megas_archon":
Ovviamente hai dimenticato "di dimensione finita" introducendo $V$.
Detto questo, la formula delle dimensioni ti dice che \(\dim K +\dim I = \dim V\) (se $K$ è il nucleo di $f$ e $I$ la sua immagine), quindi se $f$ è iniettiva, \(\dim I = \dim V\), cioè è suriettiva, e se $f$ è suriettiva, \(dim K = 0\), cioè $f$ è iniettiva.
Ciao intanto ti ringrazio per la risposta. La prima parte della proposizione sapevo già dimostrarla proprio grazie al teorema della dimensione. Quello che non riesco a dimostrare è
$f$ è automorfismo $hArr A_f$ è una matrice invertibile
In particolare l'implicazione $A_f$ è una matrice invertibile $rArr f$ è automorfismo.
Prova a dimostrare che \(A_{f^{-1}}=\left(A_f\right)^{-1}\).
Scelta una base \(\{v_1,\dots,v_n\}\) di $V$, la mappa \(A_\bullet : \hom_K(V,V)\to M_n(K) : f\mapsto A_f\) è costruita per essere un omomorfismo di monoidi (è, in effetti, un isomorfismo, ma dipendente dalla base che hai scelto), e quindi deve restringersi al gruppo delle unità del dominio e del codominio (rendendoli isomorfi), cosicché se \(f\in\hom_K(V,V)\) è invertibile, tale è anche \(A_f\).
La cosa da dimostrare, ora, è che questo non dipende dalla base che hai scelto, cioè resta vero cambiando la scelta della base in \(\{w_1,\dots,w_n\}\). Del resto i cambi di base \(M_n(K)\to M_n(K)\) sono tutti automorfismi perché corrispondono al coniugio per l'elemento invertibile $P$ corrispondente a \(v_i\mapsto w_i\) che cambia da una base all'altra, e il prodotto di elementi invertibili è ovviamente invertibile.
La cosa da dimostrare, ora, è che questo non dipende dalla base che hai scelto, cioè resta vero cambiando la scelta della base in \(\{w_1,\dots,w_n\}\). Del resto i cambi di base \(M_n(K)\to M_n(K)\) sono tutti automorfismi perché corrispondono al coniugio per l'elemento invertibile $P$ corrispondente a \(v_i\mapsto w_i\) che cambia da una base all'altra, e il prodotto di elementi invertibili è ovviamente invertibile.
"j18eos":
Prova a dimostrare che \(A_{f^{-1}}=\left(A_f\right)^{-1}\).
Qualcosa tipo:
$(A_f)^-1 = A_(f^-1) hArr A_f*(A_f)^-1= A_f * A_(f^-1) hArr I_n = A_f * A_(f^-1) hArr f@f^-1 = f^-1@f = Id_V$ ciò implica che f sia invertibile e quindi biunivoca. Va bene?
Più o meno ci sei: sia \(\displaystyle g\) l'endomorfismo lineare di \(\displaystyle\mathbb{V}\) rappresentato (rispetto a delle basi fissate) dalla matrice \(\displaystyle(A_f)^{-1}\), ottieni che
\[
g\circ f=f\circ g=Id_{\mathbb{V}}
\]
e quindi dev'essere \(g=f^{-1}\).
Ho saltato di proposito tutti i passaggi da verificare!
Enjoy it!
\[
g\circ f=f\circ g=Id_{\mathbb{V}}
\]
e quindi dev'essere \(g=f^{-1}\).
Ho saltato di proposito tutti i passaggi da verificare!
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