Dimostrare uno sottospazio vettoriale

[mikx]

se ho una matrice A= $ [ ( 1 , -1 ),( -2 , 2 ) ] $ , e S uno sottospazio = { M$in$M2(R) : AM=MA=0 }
dovrei dimostrare che S è uno sottospazio di M2(R), e dovrei trovare la dimensione.

come potrei procedere?

grazie

[kobeilprofeta]

Inizia a moltiplicare A per una generica matrice abcd, poi imponi che tutti i termini siano nulli. Troverai le condizioni per a,b,c e d. Poi verifica che la somma di due matrici che rispettano queste condizioni, se moltiplicata per A, dà ancora la matrice nulla. Lo stesso per il prodotto per scalare.

[billyballo2123]

Se $M_1,M_2\in S$ allora la matrice $M=M_1+M_2$ è tale che $AM=A(M_1+M_2)=AM_1+AM_2=0+0=0$ e analogamente $MA=(M_1+M_2)A=M_1A+M_2A=0+0=0$, dunque $M\in S$. Inoltre per ogni $\bar{M}\in S$ e per ogni $\lambda\in\mathbb{R}$, definita $M=\lambda \bar{M}$, si ha che $AM=A(\lambda \bar{M})=\lambda (A\bar{M})=\lambda 0=0$ e analogamente $MA=(\lambda \bar{M})A=\lambda (\bar{M}A)=\lambda 0=0$, dunque $M\in S$. Con questo abbiamo dimostrato che $S$ è un sottospazio di $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.

Consideriamo ora una generica matrice $M\in \mathcal{M_2}(\mathbb{R})$:
\[
M=
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
.
\]
Si ha che
\[
AM=
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-2 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a-c & b-d \\
-2a+2c & -2b+2d
\end{bmatrix}
\]
e dovendo essere $AM$ uguale alla matrice nulla, ricavi le 4 equazioni (che però non sono indipendenti). In pratica ricavi $a=c e b=d$.
Analogamente
\[
MA=
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-2 & 2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a-2b & -a+2b \\
c-2d & -c+2d
\end{bmatrix}
.
\]
Anche qui ricavi quattro equazioni, ma solo due di esse sono indipendenti, quindi ricavi $a=2b$ e $c=2d$. Assieme alle altre due equazioni hai ora 4 equazioni, ma solo tre sono indipendenti, quindi ottieni $a=c$, $b=d$ e $c=2d$. ponendo dunque $d=t$, con $t$ parametro reale, e usando le tre equazioni trovate ottieni che la generica matrice di $S$ è
\[
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2d & d \\
2d & d
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2t & t \\
2t & t
\end{bmatrix}
=t
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
\]
dunqe $S$ è un sottospazio di dimensione $1$ e la matrice
\[
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
\]
ne è una base.

[mikx]

vi ringrazio entrambi.

quindi riducendo a scala vedo che il pivot è 1 solo e quindi la dimensione è 1?

[billyballo2123]

No! La dimensione è uno perché hai un solo parametro che varia (che è $t$). In pratica il sottospazio in questione è "una retta di matrici", ovvero
\[
S=\{t\boldsymbol{v}:t\in\mathbb{R}\}
\]
e
\[
\boldsymbol{v}=
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
.
\]

[mikx]

ok grazie