Dimostrare la suriettività di un applicazione lineare

[ironm73]

Ciao ragazzi sono nuovo da queste parti ...e sto sbattendo la testa da giorni su questo problema: come dimostro che un applicazione è lineare.
Io per esempio volevo dimostrare che:

$ f:R_4->R_4 $

$ ( ( x1 ),( x2 ),( x3 ),( x4 ) ) $ $ ( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ),( x_4 ) ) \mapsto ( ( 3x_1+3x_2-2x_3-4x_4 ),( 5x_1-5x_2+8x_3-8x_4 ),( x_1-x_2+3x_3-3x_4 ),( x_1-2x_2+x_3 ) ) $

... NON è suriettiva... ma non sò da dove cominciare sò che un'applicazione è detta suriettiva quando im(f)=Y (Y=R4 in questo caso) ma... come mi devo muovere in pratica? scusate ma sono un pò testardo a capire

P.S: è vero che un applicazione non iniettiva NON è neanche suriettiva? se si perchè? .-.

[Kashaman]

Beh, fissa una $B$ base di $RR^4$ (ti consiglio la base canonica) e trova la matrice $M_B(F)$ associata a f rispetto alla base B.
Si ha che $rango(M_B(f)) = dimImf$ .

[Seneca1]

"ironm73":P.S: è vero che un applicazione non iniettiva NON è neanche suriettiva? se si perchè? .-.

Chiaramente non è vero. Se ci restringiamo al caso degli endomorfismi (applicazioni lineari di uno spazio vettoriale in sé) questo è vero; vale la formula di dimensione per applicazioni lineari:
\[ f : V \rightarrow V \]
\[ \text{dim}(V) = \text{dim}(\text{Im } f) + \text{dim}(\text{Ker } f) \]
Se supponiamo che $f$ non sia iniettiva ($\text{dim}(\text{Ker } f) \ge 1$) ma sia suriettiva ($\text{dim}(\text{Im } f) = \text{dim}(V) $) troviamo
\[ \text{dim}(V) \ge \text{dim}(V) + 1 \]
che è una contraddizione.

Se $f$ è un'applicazione lineare che non è un endomorfismo ciò non vale. Infatti prendi per esempio la proiezione $\pi_1$:
\[ \pi_1 : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \;\;\;\;\;\; \pi_1(x_1 , x_2) = x_1 \]
$\pi_1$ è suriettiva ma $(0,1) ( \ne (0,0) ) \in \text{ker } \pi_1$.