Dimostrare iniettività di un'applicazione
Salve, dovrei dimostrare l'iniettività di questa funzione, analiticamente:
$f: x in NN -> x^3-x^2+2*x+1 in NN$
Solitamento pongo $f(x) = f(y)$ per provare che $x=y$, solo che in questo caso non riesco a scomporre il polinomio :/ Potreste darmi una mano?
$f: x in NN -> x^3-x^2+2*x+1 in NN$
Solitamento pongo $f(x) = f(y)$ per provare che $x=y$, solo che in questo caso non riesco a scomporre il polinomio :/ Potreste darmi una mano?
Risposte
Cosa intendi con "analiticamente"? Non va bene dimostrare che la derivata è sempre strettamente positiva e che quindi la funzione è strettamente crescente (e iniettiva)?
"billyballo2123":
Cosa intendi con "analiticamente"? Non va bene dimostrare che la derivata è sempre strettamente positiva e che quindi la funzione è strettamente crescente (e iniettiva)?
Nel corso (matematica discreta) non abbiamo affrontato argomenti come le derivate. Verifichiamo l'iniettività di applicazioni tra insiemi, con la definizione: $AA x,y in NN, f(x)=f(y) => x=y$. (Forse ho sbagliato sezione?
)
mi ricordavo di aver letto questo messaggio ... e pensavo anche di aver risposto!
forse ho perso la connessione (non è multiposting, no?).
mi lascia perplessa la presenza degli $n$, però, dato che hai parlato di scomporre un polinomio, ho pensato che si trattasse di verificare che l'equazione $x^3-x^2-y^3+x^2=0$ ammetta solo soluzioni per cui $x=y$
ci provo; spero sia utile:
$(x^3-y^3)-(x^2-y^2)=(x-y)(x^2+xy+y^2)-(x-y)(x+y)=(x-y)(x^2+xy+y^2-x-y)$
scrivo l'equazione trasformata:
$(x-y)(x^2+xy+y^2-x-y)=0$
$x=y$ è quello che vogliamo;
se fosse $x!=y$ dovrebbe essere $x^2+xy+y^2-x-y=0$
$x=0 harr y=0$, e in tal caso si ricade nella "soluzione" $x=y$
supponiamo dunque (p.a.) $0 != x != y !=0$
aggiungo e tolgo $xy$ al primo membro dell'equazione, e poi sposto al secondo membro i termini con segno "meno":
$x^2+2xy+y^2=xy+x+y$
$(x+y)^2=x+y+xy$
ricordiamo ora che il dominio è $NN$, e che ci interessano valori di x ed y diversi tra loro e diversi da zero, per cui
$x+y>=3$, da cui $(x+y)^2>=9$
penso che possa anche bastare (avevo smesso qui l'altro giorno con gli appunti), però penso sia meglio ripartire dall'equazione e lasciare isolato il termine misto xy:
$(x+y)^2-(x+y)=xy$
$(x+y)(x+y-1)=xy$
dalle ipotesi aggiuntive $x,y>=1, x != y$ il primo membro è strettamente maggiore del secondo.
... ciao! facci sapere.
forse ho perso la connessione (non è multiposting, no?).
mi lascia perplessa la presenza degli $n$, però, dato che hai parlato di scomporre un polinomio, ho pensato che si trattasse di verificare che l'equazione $x^3-x^2-y^3+x^2=0$ ammetta solo soluzioni per cui $x=y$
ci provo; spero sia utile:
$(x^3-y^3)-(x^2-y^2)=(x-y)(x^2+xy+y^2)-(x-y)(x+y)=(x-y)(x^2+xy+y^2-x-y)$
scrivo l'equazione trasformata:
$(x-y)(x^2+xy+y^2-x-y)=0$
$x=y$ è quello che vogliamo;
se fosse $x!=y$ dovrebbe essere $x^2+xy+y^2-x-y=0$
$x=0 harr y=0$, e in tal caso si ricade nella "soluzione" $x=y$
supponiamo dunque (p.a.) $0 != x != y !=0$
aggiungo e tolgo $xy$ al primo membro dell'equazione, e poi sposto al secondo membro i termini con segno "meno":
$x^2+2xy+y^2=xy+x+y$
$(x+y)^2=x+y+xy$
ricordiamo ora che il dominio è $NN$, e che ci interessano valori di x ed y diversi tra loro e diversi da zero, per cui
$x+y>=3$, da cui $(x+y)^2>=9$
penso che possa anche bastare (avevo smesso qui l'altro giorno con gli appunti), però penso sia meglio ripartire dall'equazione e lasciare isolato il termine misto xy:
$(x+y)^2-(x+y)=xy$
$(x+y)(x+y-1)=xy$
dalle ipotesi aggiuntive $x,y>=1, x != y$ il primo membro è strettamente maggiore del secondo.
... ciao! facci sapere.
Grazie per avermi risposto. Mi trovo nel ragionamento, solo che l'applicazione di partenza era $f(x)=x^3-x^2+2x+1$. Quindi nella equazione che hai considerato manca il $2x-2y$. Oppure mi sto sbagliando? 
dunque era $x$, non $n$!
prova a fare qualche modifica, e intanto ricontrollo anch'io.
prova a fare qualche modifica, e intanto ricontrollo anch'io.
con la modifica del testo ci cono alcuni "aggiustamenti da fare nel percorso precedente",ma non mi pare opportuno correggere l'altro messaggio: copio solo la parte che mi interessa.
si tratta di verificare che l'equazione $x^3-x^2-y^3+x^2+2x-2y=0$ ammette solo soluzioni per cui $x=y$
proseguo con le modifiche:
$(x^3-y^3)-(x^2-y^2)+2(x-y)=(x-y)(x^2+xy+y^2)-(x-y)(x+y)=(x-y)(x^2+xy+y^2-x-y+2)$
scrivo l'equazione trasformata:
$(x-y)(x^2+xy+y^2-x-y+2)=0$
$x=y$ è quello che vogliamo;
se fosse $x!=y$ dovrebbe essere $x^2+xy+y^2-x-y+2=0$
supponiamo dunque (p.a.) $ x != y $
aggiungo e tolgo $xy$ al primo membro dell'equazione, e poi sposto al secondo membro i termini con segno "meno":
$x^2+2xy+y^2+2=xy+x+y$
$(x+y)^2+2=x+y+xy$
ricordiamo ora che il dominio è $NN$, e che ci interessano valori di x ed y diversi tra loro, per cui
$x+y>=1$, da cui $(x+y)^2+2>=3$
lascio isolato il termine misto xy:
$(x+y)^2-(x+y)+2=xy$
$(x+y)(x+y-1)+2=xy$
se $x=0 vv y=0$, si ha $2=0$, impossibile
dunque, avendo supposto $x != y$, si hanno le condizioni precedenti, qui cancellate ($0 != x != y != 0 ^^ x+y>=3$), ed in più c'è l'addendo $2$.
si deduce che il primo membro è strettamente maggiore del secondo membro.
...
ciao!
si tratta di verificare che l'equazione $x^3-x^2-y^3+x^2+2x-2y=0$ ammette solo soluzioni per cui $x=y$
proseguo con le modifiche:
$(x^3-y^3)-(x^2-y^2)+2(x-y)=(x-y)(x^2+xy+y^2)-(x-y)(x+y)=(x-y)(x^2+xy+y^2-x-y+2)$
scrivo l'equazione trasformata:
$(x-y)(x^2+xy+y^2-x-y+2)=0$
$x=y$ è quello che vogliamo;
se fosse $x!=y$ dovrebbe essere $x^2+xy+y^2-x-y+2=0$
supponiamo dunque (p.a.) $ x != y $
aggiungo e tolgo $xy$ al primo membro dell'equazione, e poi sposto al secondo membro i termini con segno "meno":
$x^2+2xy+y^2+2=xy+x+y$
$(x+y)^2+2=x+y+xy$
ricordiamo ora che il dominio è $NN$, e che ci interessano valori di x ed y diversi tra loro, per cui
$x+y>=1$, da cui $(x+y)^2+2>=3$
lascio isolato il termine misto xy:
$(x+y)^2-(x+y)+2=xy$
$(x+y)(x+y-1)+2=xy$
se $x=0 vv y=0$, si ha $2=0$, impossibile
dunque, avendo supposto $x != y$, si hanno le condizioni precedenti, qui cancellate ($0 != x != y != 0 ^^ x+y>=3$), ed in più c'è l'addendo $2$.
si deduce che il primo membro è strettamente maggiore del secondo membro.
...
ciao!
Dimostrare per induzione che $f(x+1)>f(n)$ basta comunque per dimostrare l'iniettività?
"grindelwald":
Dimostrare per induzione che $f(x+1)>f(n)$ basta comunque per dimostrare l'iniettività?
c'è di nuovo confusione tra x ed n?
comunque, sì, $f(n+1)>f(n), AA n in NN$ equivale a dire che la successione è strettamente crescente.
e di fatto, ripensando al titolo del tread, la funzione $f(x)$ è strettamente crescente in $RR$ e dunque anche in $NN$:
$f'(x)=3x^2-2x+2$ è positiva per ogni x ($Delta<0$).
... quanti calcoli inutili ... ma divertenti!
Scusami, la traccia dell'esercizio portava $n$ però sono abituato ad usare le $x$ Grazie mille per la disponibilità e la pazienza!
Grazie mille per la disponibilità e la pazienza!
prego!
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