Dimostrare gruppo
Voglio dimostrare che una matrice $M2(R)$ sia un gruppo rispetto al prodotto di matrici. Considero la matrice $((a,b),(b,c))$ (fornita dall'esercizio)
A mio avviso NON é un gruppo!! Infatti non esiste un elemento opposto $((-a,-b),(-b,-c))$ che moltiplicato per $((a,b),(b,c))$ mi dia la matrice identica $((1,0),(0,1))$.
È giusto questo ragionamento?
Grazie per la risposta
A mio avviso NON é un gruppo!! Infatti non esiste un elemento opposto $((-a,-b),(-b,-c))$ che moltiplicato per $((a,b),(b,c))$ mi dia la matrice identica $((1,0),(0,1))$.
È giusto questo ragionamento?
Grazie per la risposta
Risposte
Hai lo spazio delle matrici $2\times 2$ a coefficienti in $R$ (sono i numeri reali $\mathbb{R}$ o e' un generico anello $R$?)
Chi e' l'identita' per il prodotto di matrici? (hint: non e' quella che hai scritto tu)
Se ho una matrice $A$, cosa deve fare una matrice $B$ per poter essere l'inversa di $A$ (rispetto al prodotto di matrici)?
Tutte le matrici sono invertibili? O posso forse trovare almeno una matrice che non ha un'inversa rispetto al prodotto di matrici?
Chi e' l'identita' per il prodotto di matrici? (hint: non e' quella che hai scritto tu)
Se ho una matrice $A$, cosa deve fare una matrice $B$ per poter essere l'inversa di $A$ (rispetto al prodotto di matrici)?
Tutte le matrici sono invertibili? O posso forse trovare almeno una matrice che non ha un'inversa rispetto al prodotto di matrici?
Ho sbagliato a scrivere la matrice identica...colpa della fretta ieri sera!! 
(ora ho corretto)
Si tratta di un generico anello $R$.
Io so che affinché sia un gruppo rispetto al prodotto, devo verificare che:
1) via sia un elemento neutro tale per cui ottengo la matrice di partenza
$((a,b),(b,c)) x ((1,0),(0,1)) = ((a,b),(b,c))$
2) Vi sia una matrice con elementi opposti, tale per cui la somma con la matrice di partenza mi da l'elemento neutro
$((a,b),(b,c)) x ((-a,-b),(-b,-c))$ NON è uguale alla matrice rappresentante l'elemento neutro $((1,0),(0,1))$ e quindi NON è un gruppo. A mio avviso basta questo per far cadere tutto il castello...che dici?
3) Dovrei verificare la proprietà distributiva: Date tre matrici 2x2 (A, B, C) ho che $(AxB)xC = (BxC)xA$. Ma non ho continuato in quanto penso sia inutile
NB. L'esercizio riporta che $ac-b^2$ è diverso da zero. Pertanto la matrice è invertibile!!
(ora ho corretto)Si tratta di un generico anello $R$.
Io so che affinché sia un gruppo rispetto al prodotto, devo verificare che:
1) via sia un elemento neutro tale per cui ottengo la matrice di partenza
$((a,b),(b,c)) x ((1,0),(0,1)) = ((a,b),(b,c))$
2) Vi sia una matrice con elementi opposti, tale per cui la somma con la matrice di partenza mi da l'elemento neutro
$((a,b),(b,c)) x ((-a,-b),(-b,-c))$ NON è uguale alla matrice rappresentante l'elemento neutro $((1,0),(0,1))$ e quindi NON è un gruppo. A mio avviso basta questo per far cadere tutto il castello...che dici?
3) Dovrei verificare la proprietà distributiva: Date tre matrici 2x2 (A, B, C) ho che $(AxB)xC = (BxC)xA$. Ma non ho continuato in quanto penso sia inutile
NB. L'esercizio riporta che $ac-b^2$ è diverso da zero. Pertanto la matrice è invertibile!!
Che non sia un gruppo siamo d'accordo. Ma questo non dimostra nulla.
Il tuo elemento neutro e' la matrice identica $I$. Data $A$ vuoi trovare $B$ (e a priori chissa' come e' fatta...come mai ci vuoi mettere dentro gli opposti?) tale che $AB = BA = I$.
Tuttavia il fatto che $ac-b^2$ non sia zero non garantisce che la matrice sia invertibile, perche' come hai detto $R$ e' un anello qualsiasi. Ci serve che $ac-b^2$ sia un'invertibile in $R$. In quel caso, e solo in quel caso, puoi trovare l'inversa.
Il tuo elemento neutro e' la matrice identica $I$. Data $A$ vuoi trovare $B$ (e a priori chissa' come e' fatta...come mai ci vuoi mettere dentro gli opposti?) tale che $AB = BA = I$.
Tuttavia il fatto che $ac-b^2$ non sia zero non garantisce che la matrice sia invertibile, perche' come hai detto $R$ e' un anello qualsiasi. Ci serve che $ac-b^2$ sia un'invertibile in $R$. In quel caso, e solo in quel caso, puoi trovare l'inversa.
Domani ho l'orale e devo cercare di capire meglio la questione.
"un gruppo è un monoide avente tutti gli elementi invertibili".
Detto questo, ho preso l'opposto in quanto poco prima avevo dimostrato che $M2(R)$ fosse un gruppo rispetto alla somma. Avevo infatti scritto: $((a, b), (b, c)) + ((-a, -b), (-b, -c)) = ((0, 0), (0, 0))$
nel caso del prodotto la questione è diversa...in quanto devo verficare l'inversa. Il problema è come ricavo $A^(-1)$? Faccio il sistema fra la matrice A e $((1,0), (0,1))$? E una volta trovata la matrice con il sistema...cosa ne fai? Come deduci non sia un gruppo?
Mi fai un grosso favore se mi chiarisci i dubbi in quanto il mio orale è proprio vicino
"un gruppo è un monoide avente tutti gli elementi invertibili".
Detto questo, ho preso l'opposto in quanto poco prima avevo dimostrato che $M2(R)$ fosse un gruppo rispetto alla somma. Avevo infatti scritto: $((a, b), (b, c)) + ((-a, -b), (-b, -c)) = ((0, 0), (0, 0))$
nel caso del prodotto la questione è diversa...in quanto devo verficare l'inversa. Il problema è come ricavo $A^(-1)$? Faccio il sistema fra la matrice A e $((1,0), (0,1))$? E una volta trovata la matrice con il sistema...cosa ne fai? Come deduci non sia un gruppo?
Mi fai un grosso favore se mi chiarisci i dubbi in quanto il mio orale è proprio vicino
Ci sono diversi modi per scrivere l'inversa di una matrice e nel caso $2 \times 2$ e' facile. Puoi risolvere il sistema lineare, puoi usare la matrice dei cofattori. La risposta dovrebbe venire sempre uguale e l'inversa di una matrice $2 \times 2$ e'
$((a,b),(c,d)) ^{-1} = (ad-bc)^{-1} ((d,-b),(-c,a))$
ed e' ben definita se e solo se $(ad-bc)^{-1}$ esiste, ovvero se $(ad-bc)$ e' un invertibile nell'anello su cui stiamo lavorando.
Nel tuo caso anche se $(ad-bc)$ non e' nullo, non puoi concludere che sia invertibile perche' stai lavorando su un anello qualsiasi $R$. Quindi se ogni elemento non nullo e' invertibile (ovvero $R$ e' un campo), allora puoi concludere che le matrici $2\times 2$ con determinante non nullo sono un gruppo (e si chiama $GL_2(R)$ in una delle tante notazioni che vengono usate). Se pero' nel tuo anello hai elementi che non sono invertibili allora il tuo insieme delle matrici $2\times 2$ con determinante non nullo non e' un gruppo. Ad esempio se $r \in R$ e' un elemento non invertibile e non nullo, allora la matrice
$((r,0),(0,1))$
ha determinante $r$ ma non e' invertibile.
$((a,b),(c,d)) ^{-1} = (ad-bc)^{-1} ((d,-b),(-c,a))$
ed e' ben definita se e solo se $(ad-bc)^{-1}$ esiste, ovvero se $(ad-bc)$ e' un invertibile nell'anello su cui stiamo lavorando.
Nel tuo caso anche se $(ad-bc)$ non e' nullo, non puoi concludere che sia invertibile perche' stai lavorando su un anello qualsiasi $R$. Quindi se ogni elemento non nullo e' invertibile (ovvero $R$ e' un campo), allora puoi concludere che le matrici $2\times 2$ con determinante non nullo sono un gruppo (e si chiama $GL_2(R)$ in una delle tante notazioni che vengono usate). Se pero' nel tuo anello hai elementi che non sono invertibili allora il tuo insieme delle matrici $2\times 2$ con determinante non nullo non e' un gruppo. Ad esempio se $r \in R$ e' un elemento non invertibile e non nullo, allora la matrice
$((r,0),(0,1))$
ha determinante $r$ ma non e' invertibile.
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