Dimostrare coppie di vettori con la stessa direzione
Se ho ${u_1, u_2, u_3}$ che sono una base di $E_0^3$, il primo modo che mi viene in mente per dimostrare se due coppie di vettori hanno la stessa direzione, è guardare l'angolo che essi formano.
Quindi dati due vettori $u, v$, $cos\theta=()/(||u|| *||v||)$
Ho messo il punto tra le due norme non per indicare il prodotto scalare, ma solo per vedere subito che è la moltiplicazione delle due norme.
Ci sono altri metodi?
Perchè ho per esempio questa coppia:
$3u_1+6u_2+9u_3$ e $4u_1+8u_2+12u_3$ che ho trovato che $cos\theta=1$ quindi i due vettori dato che hanno gli elementi positivi, sono sovrapposti, e quindi hanno la stessa direzione. Avessero avuto un segno diverso, avrei detto che formavano un angolo di 90° e quindi erano perpendicolari (giusto?)
Il mio problema è che non posso usare la calcolatrice per poter fare il prodotto $\sqrt(126)\sqrt(224)$. C'è qualche altro metodo?
Quindi dati due vettori $u, v$, $cos\theta=(
Ho messo il punto tra le due norme non per indicare il prodotto scalare, ma solo per vedere subito che è la moltiplicazione delle due norme.
Ci sono altri metodi?
Perchè ho per esempio questa coppia:
$3u_1+6u_2+9u_3$ e $4u_1+8u_2+12u_3$ che ho trovato che $cos\theta=1$ quindi i due vettori dato che hanno gli elementi positivi, sono sovrapposti, e quindi hanno la stessa direzione. Avessero avuto un segno diverso, avrei detto che formavano un angolo di 90° e quindi erano perpendicolari (giusto?)
Il mio problema è che non posso usare la calcolatrice per poter fare il prodotto $\sqrt(126)\sqrt(224)$. C'è qualche altro metodo?
Risposte
Scusa ma anche senza calcolatrice, $ sqrt(126)sqrt(224)=6sqrt(14)sqrt(56)=12sqrt(14)sqrt(14)=12*14=168 $
E il prodotto scalare invece è $ 3*4+6*8+9*12=12+48+108=168 $ quindi ottieni $costheta=1$ e necessariamente i vettori hanno la stessa direzione.
Comunque bastava notare che $u=lambdav$ con $lambda in R$, in particolare $lambda=4/3$
E il prodotto scalare invece è $ 3*4+6*8+9*12=12+48+108=168 $ quindi ottieni $costheta=1$ e necessariamente i vettori hanno la stessa direzione.
Comunque bastava notare che $u=lambdav$ con $lambda in R$, in particolare $lambda=4/3$
Ah si hai ragione, non ci avevo pensato ad usare un parametro.
Va bene che si può fare, ma dato che ho poco tempo per farlo mi sembrava una perdita di tempo esagerata.
Posso anche scrivere $v=\lambdau$ no? E quindi $\lambda=3/4$
Va bene che si può fare, ma dato che ho poco tempo per farlo mi sembrava una perdita di tempo esagerata.
Posso anche scrivere $v=\lambdau$ no? E quindi $\lambda=3/4$
Si, se invece sono perpendicolari allora $ = 0 $
Si, perfetto. Grazie mille!
"Shika93":
Ci sono altri metodi?
Ma certo, molto più veloci. I termini "linearmente dipendente, linearmente indipendente" ti dicono niente? Devi verificare se i due vettori che tu hai sono linearmente dipendenti o meno. Ci sono metodi standard per farlo, che poi sono gli stessi che si usano per calcolare il rango delle matrici.
Si ok che è la stessa cosa che ha detto Ernesto01, no? A occhio non sempre riesco a vedere quale dipendenza c'è tra due coppie o vettori o altro. Calcolandomi il parametro, se corrisponde con tutti gli elementi, sono a posto.
"Shika93":
Si ok che è la stessa cosa che ha detto Ernesto01, no? A occhio non sempre riesco a vedere quale dipendenza c'è tra due coppie o vettori o altro. Calcolandomi il parametro, se corrisponde con tutti gli elementi, sono a posto.
Certamente, puoi fare come preferisci. Volevo solo rimarcare che calcolare l'angolo tra due vettori è una operazione computazionalmente pesante (devi calcolare radici quadrate), mentre verificare la dipendenza lineare di due (o anche più) vettori è una passeggiata: basta usare l'algoritmo di Gauss.
Si si, hai ragione. Infatti ora che mi avete fatto venire in mente di verificare la dipendenza lineare, non ci penso neanche a calcolare l'angolo se non mi viene chiesto.
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