Dimostrare che uno spazio è sottospazio di un altro

[L_Otto_Bello]

Ciao a tutti,

mi sono trovato di fronte ad un esercizio che non saprei come risolvere.

Sia $V$ uno spazio euclideo di $dimV = n$, Se $S$ è un sottospazio di $V$, con $S^\bot$ si indica l'insieme: $S = {v in V | v \bot w, per ogni v in S}$.

Dimostrare che $S^\bot$ è un sottospazio di $V$ (chiamato complemento ortogonale di $S$ in $V$)

Una definizione che ho trovato qui di sottospazio è la seguente:

"Uno spazio vettoriale è in buona sostanza una struttura algebrica munita di due operazioni, cioè particolari applicazioni; una interna e una esterna. Più formalmente , se $V$ è un insieme non vuoto, $K$ un campo e se
$+:V×V→V$ e $⋅:K×V→V $sono due applicazioni tali che :
1) $(V,+)$ è un gruppo. (+ associativa, esiste l'elemento neutro (zero) ,+ commutativa, ogni elemento di V ha un simmetrico)
2) $∀λ∈K∀v,w∈V:λ⋅(v+w)=λ⋅v+λ⋅w$
3) $∀λ,μ∈K∀v∈V:(λ+μ)⋅v=λ⋅v+μ⋅v$
4) $∀λ,μ∈K∀v∈V:(λ⋅μ)⋅v=λ⋅(μ⋅v)$
5) $∀v∈V:1⋅v=v$
si dice che la terna (V,+,⋅) è uno spazio vettoriale costruito su K "

E quindi la domanda è: Devo dimostrare i 5 punti che trovo sopra? o come devo procedere?

[garnak.olegovitc1]

@L_Otto_Bello,

"L_Otto_Bello":Ciao a tutti,

mi sono trovato di fronte ad un esercizio che non saprei come risolvere.

Sia $V$ uno spazio euclideo di $dimV = n$, Se $S$ è un sottospazio di $V$, con $S^\bot$ si indica l'insieme: $S = {v in V | v \bot w, per ogni v in S}$.

Dimostrare che $S^\bot$ è un sottospazio di $V$ (chiamato complemento ortogonale di $S$ in $V$)

Una definizione che ho trovato qui di sottospazio è la seguente:

"Uno spazio vettoriale è in buona sostanza una struttura algebrica munita di due operazioni, cioè particolari applicazioni; una interna e una esterna. Più formalmente , se $V$ è un insieme non vuoto, $K$ un campo e se
$+:V×V→V$ e $⋅:K×V→V $sono due applicazioni tali che :
1) $(V,+)$ è un gruppo. (+ associativa, esiste l'elemento neutro (zero) ,+ commutativa, ogni elemento di V ha un simmetrico)
2) $∀λ∈K∀v,w∈V:λ⋅(v+w)=λ⋅v+λ⋅w$
3) $∀λ,μ∈K∀v∈V:(λ+μ)⋅v=λ⋅v+μ⋅v$
4) $∀λ,μ∈K∀v∈V:(λ⋅μ)⋅v=λ⋅(μ⋅v)$
5) $∀v∈V:1⋅v=v$
si dice che la terna (V,+,⋅) è uno spazio vettoriale costruito su K "

E quindi la domanda è: Devo dimostrare i 5 punti che trovo sopra? o come devo procedere?

non ho capito bene il tuo problema, nn conosci i termini? Ma "come fai a parlare di complemento ortogonale in algebra lineare senza sapere cosa è un (sotto)spazio vettoriale...?? " Cmq sia la def. di spazio vettoriale la trovi anche su wikipedia (oltre che sui libri di algebra):

http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space#Definition

poi prendi un sottoinsieme non vuoto \( T \) dello spazio vettoriale \(V \) (definito su un campo \( K \) rispetto ad \( +_V \) e \( \cdot_V\)), esso è sottospazio vettoriale di \( V \) se:

1) \( T \) è chiuso rispetto alla somma \( +_V \)
2) \( T \) è chiuso rispetto al prodotto (esterno) \( \cdot_V \)
3) \( 0_V \in T \)

ti è chiara questa definizione? Ovviamente il punto 3 può essere dedotto ma mi piace più così !

Saluti

P.S.=Adesso puoi vedere se quel complemento ortogonale è sottospazio vettoriale... se hai dubbi non esitare a scrivere!