Dimostrare che un sistema di vettori è una base
Esercizio:
Dimostrare che R = ( (−1,2) , (1,2) ) `e un riferimento dello spazio vettoriale R2, calcolare le coordinate del vettore v = (1,0) in tale riferimento e scrivere la matrice di cambiamento di riferimento da R al riferimento canonico.
Salve ragazzi , nello svolgimento di questo esercizio ho calcolato le coordinate del vettore v e scritto la matrice di cambiamento di riferimento, ma in precedenza dovevo dimostrare che R è un riferimento,quindi una base di R2. Ho effettuato la dimostrazione per l'indipendenza lineare ma non riesco a capire come fare a dimostrare che lo stesso R è un sistema di generatori di R2 ( requisito fondamentale per affermare che è una base). Mi aiutereste?
Dimostrare che R = ( (−1,2) , (1,2) ) `e un riferimento dello spazio vettoriale R2, calcolare le coordinate del vettore v = (1,0) in tale riferimento e scrivere la matrice di cambiamento di riferimento da R al riferimento canonico.
Salve ragazzi , nello svolgimento di questo esercizio ho calcolato le coordinate del vettore v e scritto la matrice di cambiamento di riferimento, ma in precedenza dovevo dimostrare che R è un riferimento,quindi una base di R2. Ho effettuato la dimostrazione per l'indipendenza lineare ma non riesco a capire come fare a dimostrare che lo stesso R è un sistema di generatori di R2 ( requisito fondamentale per affermare che è una base). Mi aiutereste?
Risposte
Se proprio vuoi provare con mano che quello è un sistema di generatori di $RR^2$
1) Considera un generico vettore $(x,y)$ di $RR^2$
2) Ora devi esprimere il generico vettore $(x,y)$ come combinazione lineare dei vettori della base assegnata.
1) Considera un generico vettore $(x,y)$ di $RR^2$
2) Ora devi esprimere il generico vettore $(x,y)$ come combinazione lineare dei vettori della base assegnata.
Grazie per avermi risposto.
Ma volevo sapere se in generale c'è un modo, un metodo, per dimostrare che quello è un sistema di generatori all'infuori della classica "prova con mano".
Ma volevo sapere se in generale c'è un modo, un metodo, per dimostrare che quello è un sistema di generatori all'infuori della classica "prova con mano".
$n$ vettori linearmente indpendenti sono un insieme di generatori di $RR^n$:
non possono esservi più di $n$ vettori linearmente indipendenti,
perciò un diverso vettore è esprimibile come combinazione lineare degli $n$ vettori.
non possono esservi più di $n$ vettori linearmente indipendenti,
perciò un diverso vettore è esprimibile come combinazione lineare degli $n$ vettori.
Grazie mille ragazzi ora mi è chiaro !
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