Dimostrare che un insieme è stellato

[Mondo3]

Come posso dimostrare formalmente che un dato insieme è stellato?

Per esempio devo stabilire se sono stellati in $RR^2$ e in $RR^3$ i seguenti insiemi:

$E={(x,y) \in RR^2: y>x^3}$
$E={(x,y) \in RR^2: |y|<1-3|x|}$
$E={(x,y) \in RR^3: x^2+y^2+z^2<1 \and z^2\ge x^2+y^2}$

[franced]

Il primo insieme (cioè $S = {(x,y) \in RR^2 : y > x^3}$) secondo me non è stellato
(forse la mia intuizione a quest'ora è già addormentata..).

Per dimostrarlo puoi procedere per assurdo (non ho provato a vedere se questa strada è la migliore):
supponi che esista un punto $P \in S$ tale che $forall Q \in S$ i punti del tipo $OP + t (PQ)$ (con $t \in [0,1]$)
sono interamente contenuti in $S$ e trovi l'assurdo.

[franced]

"franced":Il primo insieme (cioè $S = {(x,y) \in RR^2 : y > x^3}$) secondo me non è stellato
(forse la mia intuizione a quest'ora è già addormentata..).

Se l'insieme fosse $W = {(x,y) \in RR^2 : x > 0 ; y > x^3}$ allora l'insieme sarebbe stellato
(basta fare un disegno).

E' la parte delle ordinate negative dell'insieme $S$ a far sì che l'insieme $S$ non sia stellato:
basta analizzare le rette tangenti alla curva $y=x^3$ nella parte delle $y < 0$.

[Megan00b]

Un allievo del Pablo?
Anche secondo me il primo non è stellato.
Il secondo è banalmente stellato.
Il terzo pure e si vede facilmente considerando l'intersezione della sfera con il paraboloide.

[Sk_Anonymous]

Che significa insime stellato?

[Fioravante Patrone1]

"Ene@":Che significa insime stellato?

Che contiene un punto dal quale puoi collegarti ad ogni altro punto dell'insieme mediante un segmento che li congiunge, e che sta tutto dentro all'insieme dato.

Ad esempio, l'insieme A, costituito dai punti del piano cartesiano che stanno tra le iperboli equilatere y = 1/x e y = - 1/x è un insieme stellato rispetto all'origine (e solo rispetto a quel punto).

Un insieme convesso è stellato (è stellato rispetto ad ogni suo punto).

Un insieme stellato è semplicemente connesso ("non ha buchi").

[Chevtchenko]

"Fioravante Patrone":[quote="Ene@"]Che significa insime stellato?

Che contiene un punto dal quale puoi collegarti ad ogni altro punto dell'insieme mediante un segmento che li congiunge, e che sta tutto dentro all'insieme dato.[/quote]
E mi permetto di aggiungere che l'insieme dei punti che godono di questa proprietà dicesi il nucleo dell'insieme dato... è un esercizio carino far vedere che il nucleo è convesso.