Dimostrare che $R$ non è omeomorfo a $R^+$

[gygabyte017]

Ciao a tutti, sto pensando a come fare questa dimostrazione: "Dimostrare che $R$ non è omeomorfo a $R+$, dove $R^+$ è incluso lo 0".

Non riesco a farlo vedere... Il problema credo si riduca a far vedere che $[0,1)$ non è omeomorfo a $(0,1)$, ma entrambi resistono a tutte le proprietà topologiche che conosco... connessione, non compattezza, connessione per archi, gruppo fondamentale, hausdorff, componenti connesse, ....

Idee?

Grazie

[fu^2]

se aggiungi $1$ al primo intervallo esso diventa compatto, mentre l'altro, con l'aggiunta dell'1, non diventa compatto. Se fossero omeomorfi aggiungere e togliere punti non inciderebbe.

Oppure se per assurdo esiste $phi:(0,1)->[0,1)$ omeomorfismo, in particolare $phi$ è una mappa aperta - quindi manda aperti in aperti - e suriettiva, in particolare avremo $phi((0,1))=[0,1)$, ma $[0,1)$ nella topologia euclidea non è aperto, quindi...

[tomomimorgan]

Mmm veramente non sono molto sicura di essere d'accordo... o meglio, ci posso pure stare con la prima dimostrazione (so per certo che vale se si toglie un punto, quindi immagino valga anche se se ne aggiunge uno), però non sono convinta dalla seconda... è vero che un omeomorfismo è un'applicazione aperta, però l'applicazione non va da R a R, ma da R a R+, e con la topologia indotta sbaglio o [0,1) è effettivamente aperto su R+? Sei sicuro che si debba considerare la top euclidea?

... probabilmente la mia obiezione è una stupidaggine, ti prego di spiegarmi dove sbaglio!! ^___^ Grazie!

[ViciousGoblin]

Forse un modo piu' immediato e' di osservare che se si toglie lo zero a $RR^+$ rimane un connesso, mentre togliendo l'immagine di zero a $RR$, qualunque essa sia, ci si ritrova
con un insieme sconnesso