Dimostrare che questa deformazione non è continua
Buonasera a tutti, per un esercizio ho scritto questa deformazione dal "bicchiere pieno" al "bicchiere vuoto". All'inizio mi sembrava corretta ma mi sono accorto che questa applicazione non dovrebbe essere continua. Il punto è che non riesco a dimostrarlo negando la definizione. L'applicazione in questione è questa:
$ R : X xx I -> X $ dove indico con $ X $ il bicchiere pieno, cioè $ D^2 xx [0,1] $ in $ mathbb(R^3) $ $ R((x,y,z) , t) = (x/||x||(1-t) + xt, y/||y||(1-t) + yt, z) $ se $ z!=0 $, l'identità se $ z = 0 $. Il problema che l'intuizione mi suggerisce è ovviamente alla base, ma non mi viene in mente cosa dovrei scrivere per dimostrarlo!
$ R : X xx I -> X $ dove indico con $ X $ il bicchiere pieno, cioè $ D^2 xx [0,1] $ in $ mathbb(R^3) $ $ R((x,y,z) , t) = (x/||x||(1-t) + xt, y/||y||(1-t) + yt, z) $ se $ z!=0 $, l'identità se $ z = 0 $. Il problema che l'intuizione mi suggerisce è ovviamente alla base, ma non mi viene in mente cosa dovrei scrivere per dimostrarlo!
Risposte
Mi piacerebbe aiutarti ma sono nuovo a questo tipo di problemi.
Per bicchiere si intende un cilindro?
Chi è $D$?
Per bicchiere si intende un cilindro?
Chi è $D$?
$ D^2 $ sarebbe il disco pieno in $ R^2 $ , cioè $ { x^2 + y ^2 <= 1 } $
Si il bicchiere sarebbe un cilindro, la maniera corretta di scriverlo sarebbe quello che ho messo come $ X $.
Metto anche come si indica il bicchiere vuoto in caso qualcuno non lo sapesse : $ D^2 xx {0] uu S^1 xx [0,1] $
Ah $ S^1 $ è la sfera unitaria. Uno può supporre sia tutto centrato nell'origine a meno di traslazioni affini. Questo è un problema topologico!
Si il bicchiere sarebbe un cilindro, la maniera corretta di scriverlo sarebbe quello che ho messo come $ X $.
Metto anche come si indica il bicchiere vuoto in caso qualcuno non lo sapesse : $ D^2 xx {0] uu S^1 xx [0,1] $
Ah $ S^1 $ è la sfera unitaria. Uno può supporre sia tutto centrato nell'origine a meno di traslazioni affini. Questo è un problema topologico!
Ma se $x$ o $y$ sono $0$? Ma poi cosa sarebbero $||x||$ e $||y||$?
$ ||x|| $ e $ ||y|| $ sono la norma euclidea standard.
Se $ x $ ed $ y $ sono zero la funzione non è continua! Non ci avevo proprio pensato perchè mi ero concentrato sul problema alla base quando il problema è in realtà su tutto l'asse delle $ z $ dove la deformazione non è continua (anzi manco ben definita secondo me)! (e quindi non è una deformazione). Sarebbe andato bene se fosse stato il cilindro meno una retta!
Non so se l'hint sia stato volontario ma in ogni caso grazie, mi ero perso in un bicchier d'acqua!
Se $ x $ ed $ y $ sono zero la funzione non è continua! Non ci avevo proprio pensato perchè mi ero concentrato sul problema alla base quando il problema è in realtà su tutto l'asse delle $ z $ dove la deformazione non è continua (anzi manco ben definita secondo me)! (e quindi non è una deformazione). Sarebbe andato bene se fosse stato il cilindro meno una retta!
Non so se l'hint sia stato volontario ma in ogni caso grazie, mi ero perso in un bicchier d'acqua!
Se è la norma euclidea in effetti non è ben definita la funzione quindi non ha senso dire che non è continua, comunque $x$ e $y$ sono numeri quindi la norma sarebbe il valore assoluto.
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