Dimostrare che la dimensione di S è n-p(A)

[Netfrog]

Ciao a tutti cari matematici,
Devo dimostrare che un sistema lineare omogeneo ha dimensione n-p(A).
Sul libro ho una dimostrazione che dice
1) se P(A)=n allora il sistema ha solo una soluzione che è quella nulla, perchè?
2) dice che la copertura lineare di una base costituita da n-dimS, dove dimS è <=n-p(A) non può essere autosoluzione perchè?

Il teorema dice anche che la somma tra S, insieme delle soluzioni e lo spazio formato dai primi p vettori della base canonica. è diretta e quindi dimS<=n-p come mai è una conseguenza di ciò ?

Grazie cordiali saluti
Netfrog

[Kashaman]

Procediamo per gradi. Sai che un sistema omogeneo può esser scritto nella forma $AX=O$ ? dove $A \in M_m,n(RR)$ e $X$ è il vettore colonna delle incognite di $RR^n$. Si dimostra che se $E = { (a_1,..,a_n) | a_i \in RR}$ è l'insieme delle soluzioni del sistema. Si mostra che $E$ è uno spazio vettoriale, sottospazio di $RR^n$.
Si mostra inoltre che se $r$ è il rango di $A$, $dimE = n -r$. Ora se $n=r$ si ha che $dimE=0$ e cioè $E={(0,0,0..,0)} $e cioè $AX=O$ ammette come unica soluzione il vettore nullo di $RR^n$.

[Netfrog]

Ahhh, pensavo ci fosse un motivo algebrico, non numerico, ora ho capito grazie.
OK, dopo aver detto che la dimensione dello spazio delle soluzioni è <= n- r (rango di A) dice che considera una base B di S e la completa con B segnato, sistema di n- dimS vettori, come mai deve completarla con B segnato?

Infine, poi ho capito; come mai la copertura lineare L(Bsegnato) non può essere autosoluzione di AX=0 ?


Grazie mille