Dimostrare che due sottospazi vettoriali sono LD se e solo se sono proporzionali

[viper19920]

salve, come da titolo , la dimostrazione è questa: Sia V uno spazio vettoriale su k = R,C e v1,...,vn ∈ V vettori fissati. I vettori v1, . . . , vn si dicono linearmente dipendenti se esistono scalari α1,...,αn ∈ k non tutti nulli tali che
α1v1 + · · · + αnvn = 0V .
In caso contrario i vettori v1, . . . , vn si dicono linearmente indipendenti.
Quindi dei vettori v1,...,vn sono linearmente indipendenti se per ogni scelta di scalari α1, . . . , αn ∈ k non tutti nulli risulta
α1v1 + · · · + αnvn ̸= 0V .
Un altro modo per definire la lineare indipendenza `e il seguente: i vettori v1, . . . , vn
sono linearmente indipendenti se l’equazione in V α1v1 +···+αnvn =0V
ha (α1, . . . , αn) = 0kn ∈ kn come unica soluzione, mentre sono linearmente dipendenti se ha soluzioni non nulle.

[Magma1]

Ciao,

Per aumentare le probabilità di ottenere una risposta ti consiglio di scrivere le formule come previsto da regolamento.

"Shadownet614":
salve, come da titolo , la dimostrazione è questa:

Sia $V$ uno spazio vettoriale su $k = RR,CC$ e $v_1,...,v_n in V$ vettori fissati.

I vettori $v_1,...,v_n$ si dicono linearmente dipendenti se esistono scalari $α_1,...,α_n in k$ non tutti nulli tali che
$α_1v_1 + · · · + α_nv_n = 0_V$ .
In caso contrario i vettori $v_1,...,v_n$ si dicono linearmente indipendenti.
Quindi dei vettori $v_1,...,v_n$ sono linearmente indipendenti se per ogni scelta di scalari $α_1, . . . , α_n in k$ non tutti nulli risulta $α_1v_1 + · · · + α_nv_n ne 0_V$ .

Un altro modo per definire la lineare indipendenza è il seguente: i vettori $v_1,...,v_n$ sono linearmente indipendenti se l’equazione in $V$ $α_1v_1 +···+α_nv_n =0_V$ ha (α_1, . . . , α_n) = 0kn ∈ kn come unica soluzione, mentre sono linearmente dipendenti se ha soluzioni non nulle.

Ma la domanda qual è?

Comunque, se $v_1, v_2$ sono proporzionali allora sono linearmente dipendenti; infatti $v_1=lambda v_2 hArr v_1-lambda v_2=0$.

[viper19920]

in pratica su una prova di esame di qualche mese fa è uscita come domanda : dimostrare che due sottospazi sono LD se sono proporzionali

[Magma1]

Scusa ma non capisco perché associ la dipendenza lineare ai sottospazi (è una metonimia?)?

Comunque, per quanto riguarda i vettori di un sottospazio vettoriali, essi, per definizione, sono linearmente dipendenti se e solo se uno qualsiasi di essi si può esprimere come combinazione lineare degli altri. La proporzionalità rientra proprio in questo caso.

Sono invece linearmente indipendenti se e solo se ogni loro combinazione lineare è nulla e banale
(i vettori devono essere tutti non nulli, mentre gli scalari tutti nulli).