Dimostrare che....

[nomen1]

Sia $A$ una matrice simmetrica $n x n$. Gli $n$ autovalori di $A$ sono del tipo: $lambda_i<1$. Dimostrare che se $N$ tende a $+oo$ allora $A^N$ tende a $0$

[amel3]

Mi sa che è $A$ reale simmetrica e $|lambda_i|<1$

Per definizione di norma di una matrice:
$||A^N||<||A||^N$ per ogni $N in NN$
Quindi basta provare che $||A||<1$.
Ora $AA x in RR^n$, $|Ax|=|lambda_i x|=|lambda_i| \ |x|$ (un $lambda_i$ così fatto esiste sicuramente perchè la matrice è diagonalizzabile in $RR$).
Quindi, in particolare, $AA x in RR^n$, con $|x|=1$, $|Ax|<| lambda_i |<1$ (per un opportuno $lambda_i$, in ogni caso sono tutti $<1$).
Ora $||A||=Sup_{|x|=1}|Ax|$, pertanto $||A||<1$, come si voleva.

Torna? Spero di sì....
P.S.: Non sono molto sicuro, per cui se mi sbaglio correggetemi.

[nomen1]

"amel":Mi sa che è $A$ reale simmetrica e $|lambda_i|<1$

Per definizione di norma di una matrice:
$||A^N||<||A||^N$ per ogni $N in NN$
Quindi basta provare che $||A||<1$.
Ora $AA x in RR^n$, $|Ax|=|lambda_i x|=|lambda_i| \ |x|$ (un $lambda_i$ così fatto esiste sicuramente perchè la matrice è diagonalizzabile in $RR$).
Quindi, in particolare, $AA x in RR^n$, con $|x|=1$, $|Ax|<| lambda_i |<1$ (per un opportuno $lambda_i$, in ogni caso sono tutti $<1$).
Ora $||A||=Sup_{|x|=1}|Ax|$, pertanto $||A||<1$, come si voleva.

C'è un altro modo per dimostrarlo? perchè hai utiizzato nozioni che non conosco....

[amel3]

Se non conosci la norma di matrice come fai a definire la convergenza di una matrice?