Dimensioni miniblocchi di Jordan, diagonalizzazione

[djanthony931]

Ciao a tutti,
ho la seguente matrice A di cui devo calcolare $A^k$ la quale però risulta non essere diagonalizzabile poichè la molteplicità geometrica degli autovalori non corrisponde con quella algebrica, devo quindi trovarne una forma di Jordan.

\(\displaystyle A=\begin{bmatrix}
1 & 0& -1\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{bmatrix} \) i cui autovalori sono $\lambda_{1,2,3}=1$ con molteplicità algebrica 3

$A^k=T_j^{-1} diag{J_1^k}T_j$ dove \(\displaystyle J_1^k=\begin{bmatrix}
J_{1,1}^k & 0\\
0 & J_{1,2}^k
\end{bmatrix} \)

Quello che non riesco a capire è come trovare le giuste dimensioni dei miniblocchi di jordan dell'unico blocco $J_1^k$, non dovrebbero essere tutti e due di dimensioni 3x3 visto che la molteplicità algebrica di ognuno degli autovalori è 3?

[anto_zoolander]

Ma ti conviene?

$A^2=[(1,0,-1),(0,1,0),(0,0,1)]*[(1,0,-1),(0,1,0),(0,0,1)]=[(1,0,-2),(0,1,0),(0,0,1)]$

$A^3=[(1,0,-2),(0,1,0),(0,0,1)]*[(1,0,-1),(0,1,0),(0,0,1)]=[(1,0,-3),(0,1,0),(0,0,1)]$

Non resta che un bel colpo di induzione per $A^n=[(1,0,-n),(0,1,0),(0,0,1)]$

Prima di concludere:
l’esercizio ti chiede di mostrarlo tramite la relazione di diagonalizzabilità, o devi semplicemente calcolarla?

[djanthony931]

Devo solo calcolarla, il mio testo dice solo che la dimensione dei vari miniblocchi di Jordan è la seguente:
$A_{Ji,h} \in R^{\eta_{i,h}\times\eta_{i,h}}$ tale che
$\sum_{h=1}^{v_i}\eta_{i,h}=n_i$ dove $i=1...\mu$ e $h=1...v_i$
$\mu$ è il numero di autovalori distinti di A e $n_i$ è la molteplicità dell'autovalore $\lambda_i$
$v_i$ non viene specificato cos'è ma credo sia la molteplicità geometrica dell'autovalore $\lambda_i$