Dimensioni e spazi vettoriali

[m911]

consideriamo i seguenti spazi vettoriali di $ R^3 $

$ U=L(2,0,0),(1,1,0),(-1,1,0) $ ; $ V={(x,y,z)in R^3| x-z=0, y=0} $

si stabilisca quale affermazione é verificata

$ A) Uo+ V=R^3 $
$ B) dim(U+V)=2 $
$ C) Uuu V= U+V $
$ D) dim(Unn V)=2 $
––––—
ho pensato di procedere cosi...
mi calcolo la dim U
$ (( 2 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ) ,( -1 , 1 , 0 ) ) $ il rango della matrice é 2, quindi dim U=2

$ ( ( 1 , 0 , -1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $ anche in questo caso il rango é 2, dim V=2

mi calcolo la dim(U+V) $ (( 2 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , -1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $ il rango é 3 quindi la dim é 3
tramite la relazione di Grassmann che la $ dim(Unn V)=1 $

volevo sapere il ragionamento fatto fin ora é giusto, grazie.

[Pierlu11]

C'è qualche errore...
Allora $ dimU=2 $ come hai detto ma $ dimV=1 $ anche perchè le equazioni che lo definiscono sono 2 e di conseguenza c'è un solo parametro...
Detto questo $ricaviamo che V=<( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )> $ e la matrice il cui rango è la dimensione di $ U+V $ è $ ( ( 2 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $ (gli altri possiamo scartarli perché dipendenti...);
il rango è 3 $ rArrdim(Unn V)=0rArrVo+ U=RR^3 $ .
Infatti, se vuoi fare una verifica basta risolvere il seguente sistema che ci permette di ricavare il sottospazio $ Unn V $ :
$ Unn V{ ( x=z ),( y=0 ),( z=0 ):}rArr{ ( x=0 ),( y=0 ),( z=0 ):}rArrUnn V={vec(0)} $ come si poteva prevedere...

[m911]

allora spero di aver capito

giustamente i vettori di V sono del tipo (1,0,1) (2,0,2)... quindi dimV=1

creiamo la matrice il cui rango é la dim U + V e vediamo che il rango é 3,
quindi non hanno niente in comune $ rArr dim(Vnn U)=0 $

di conseg. essendo 3vettori se nessuno é dipendente dall altro generano uno spazio a 3 dim la loro somma diretta é $ R^3 $

ora mettendo a sistema i vettori indipendenti di U e di V

$ { (z=0 ):} $ $ { ( x=z ),( y=0 ):} $

e trovo in comune il solo vettore nullo

[Pierlu11]

Tutto corretto tranne il fatto che a sistema non mettiamo i vettori indipendenti ma le equazioni dei sottospazi...
In ogni caso l'ultima parte parte era solo per verificare che $dim(Vnn U)=0$...

[m911]

capito un ultima curiositá
quindi in V le equazioni sono fornite dal testo
in U invece deduciamo noi che é y=0 in quanto ogni vettore mostrato di U ha questa caratteristica

[Pierlu11]

Esatto... se dedurre le equazioni non è immediato puoi usare il metodo generale, cioè eliminare i parametri dal sistema seguente:
$ ( ( x ),( y ),( z ) )=alphavec(v_1)+betavec(v_2)+gammavec(v_3) $ dove $ {vec(v_1),vec(v_2),vec(v_3)} $ è la base del sottospazio... (naturalmente avrai un numero di parametri pari alla dimensione del sottospazio)

[m911]

É tutto chiaro ti ringazio