Dimensioni e basi di sottospazi

[kika_17]

Ciao a tutti, sto cercando di risolvere questo esercizio, ma ad un certo punto credo ci sia un errore che non riesco a trovare, qualcuno può aiutarmi per favore?

"Siamo in $RR^4$, abbiamo due sottospazi:

H={ (x,y,z,t) | x+2y = 2t=0}

K = $((1,2,0,1,1),(2,4,0,2,-1),(0,-1,1,4,0),(1,1,1,5,5))$

1. Trovare base e dimensione di K e H;
2. Trovare base e dimensione di (H+K) e $HnnK$;
3. Dire se il vettore (1,2,3,4) appartiene a H+K, in caso affermativo decomporlo come somma di un vettore di H e K. "

Ho trovato:
1.
dim(H) = 2 , B(H)= $((-2,0),(1,0),(0,1),(0,0))$

dim (K) = 3, B(K)= $((1,2,0),(2,4,0),(0,-1,1),(1,1,1))$

2.
dim (K+H) = 4, B(H+K) = $((-2,0,1,2),(1,0,2,4),(0,1,0,-1),(0,0,1,1))$

Quindi per la formula di Grassman, dim($HnnK$) = 1
e qui ho problemi, per trovare l'intersezione ho trovato le parametriche di K:

$\{(x = a+2b),(y = 2a+4b),(z = -b+c),(t=a+b+c):}$

le ho inserite nelle cartesiane di H

$\{(x+2y=0),(t=0),(z=w):}$

e come risultato ho trovato il vettore nullo! ma la dimensione dell'intersezione deve essere uno ... dove sbaglio?

3.
per capire se il vettore appartiene alla somma H+K ho usato Rouchè-Capelli = se il rango della matrice (H+K) è uguale al rango della matrice (H+K|vettore) allora il sistema è risolubile, ho trovato che in entrambi i casi è 4 quindi il vettore appartiene a H+K, giusto? ma non riesco a scriverlo come somma di due vettori H e K.

Grazie

[garnak.olegovitc1]

@kika_17,

"kika_17":Ciao a tutti, sto cercando di risolvere questo esercizio, ma ad un certo punto credo ci sia un errore che non riesco a trovare, qualcuno può aiutarmi per favore?

"Siamo in $RR^4$, abbiamo due sottospazi:

H={ (x,y,z,t) | x+2y = 2t=0}

K = $((1,2,0,1,1),(2,4,0,2,-1),(0,-1,1,4,0),(1,1,1,5,5))$

1. Trovare base e dimensione di K e H;
2. Trovare base e dimensione di (H+K) e $HnnK$;
3. Dire se il vettore (1,2,3,4) appartiene a H+K, in caso affermativo decomporlo come somma di un vettore di H e K. "

Ho trovato:
1.
dim(H) = 2 , B(H)= $((-2,0),(1,0),(0,1),(0,0))$

dim (K) = 3, B(K)= $((1,2,0),(2,4,0),(0,-1,1),(1,1,1))$

2.
dim (K+H) = 4, B(H+K) = $((-2,0,1,2),(1,0,2,4),(0,1,0,-1),(0,0,1,1))$

Quindi per la formula di Grassman, dim($HnnK$) = 1
e qui ho problemi, per trovare l'intersezione ho trovato le parametriche di K:

$\{(x = a+2b),(y = 2a+4b),(z = -b+c),(t=a+b+c):}$

le ho inserite nelle cartesiane di H

$\{(x+2y=0),(t=0),(z=w):}$

e come risultato ho trovato il vettore nullo! ma la dimensione dell'intersezione deve essere uno ... dove sbaglio?

3.
per capire se il vettore appartiene alla somma H+K ho usato Rouchè-Capelli = se il rango della matrice (H+K) è uguale al rango della matrice (H+K|vettore) allora il sistema è risolubile, ho trovato che in entrambi i casi è 4 quindi il vettore appartiene a H+K, giusto? ma non riesco a scriverlo come somma di due vettori H e K.

Grazie

in che modo/senso \( K \) è sottospazio? A me sembra più che altro una matrice!

Saluti

[giovirota]

la base B(K) che hai calcolato è errata.
Infatti risulta: B(K) = $|(1,2,1),(2,4,-1),(0,-1,0),(1,1,5)|$

[kika_17]

Hai ragione ... accidenti!

Grazie!