Dimensioni di una base

[ansioso]

Ho un dubbio...

Se ho tre vettori, di dimensione 3, linearmente indipendenti, questi vettori formano una base di $R^3$
$(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)$

E dunque impossibile che esistano tre vettori del tipo $(1,0,0,0),(0,2,0,0),(0,0,3,5)$ che siano base di $R^3$ giusto?
Allo stesso tempo quei tre vettori non sono nemmeno una base di $R^4$ in quanto sono 3 vettori e non 4!

[Mascaretti]

Se hai $n$ vettori linearmente indipendenti $in V$ dove $dimV=n$ questi saranno una base di $V$. Non puoi avere una base di $RR^3$ con vettori di $RR^4$ semplicemente perchè $lambda ((1),(0),(0),(0)) !in RR^3$ ma $inRR^4$. Non basta che la dimensione della base coincida quella dello spazio, ma i vettori della base devono appartenere a tale spazio.

Poi, che io sappia, non si dice che un vettore "ha dimensione $n$" ma che appartiene ad uno spazio $n$-dimensionale.

[Gi81]

"ansioso":Se ho tre vettori, di dimensione 3, linearmente indipendenti, questi vettori formano una base di $R^3$
$(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)$

I vettori non hanno dimensione. Le basi hanno dimensione.

[ansioso]

perfetto grazie

[ciampax]

E poi c'è un problema concettuale profondo: un vettore in uno spazio vettoriale di dimensione $n$ deve avere esattamente $n$ componenti. Tu prendi 3 vettori a 4 componenti e pretendi che stiano in $\mathbb{R}^3$?

[Pazzuzu]

Ciao a tutti,
vorrei però aggiungere ,per non confondere le idee ad ansioso, che esistono vettori $v$ tali che $v_i in RR^4 ( i =1,2,3) | RR^3 = Span ( v_i) sub RR^4$..cioè dei vettori di $RR^4$ possono generare un sottospazio vettoriale di $RR^4$, che è appunto $RR^3$..un esempio sono i vettori della forma $ (x_1, x_2,x_3,0)$. Insomma dei vettori speciali di $RR^4$ possono generare $RR^3$, mentre quello che è davvero impossibile che succeda e che dei vettori di $RR^4$ generino tutto $RR^5$..
Un saluto