Dimensioni di somma e intersezione di sottospazi vettoriali

[Bertucciamaldestra]

Buon pomeriggio!
Ho sempre problemi a risolvere esercizi dove bisogna applicare la formula di Grassman, ad esempio:
Sia $v$ sottospazio di $RR^3$ esiste un sottospazio $W$ tale che $dim(W+V) = dim(W)$?
La risposta è si se $V=W$ ma non capisco come mai, provo a immaginare $V$ e $W$ come span di vettori (uguali fra loro) di dimensione 3 ma non so dire la dimensione della loro somma. L'intersezione, essendo composta dai vettori che $V$ e $W$ hanno in comune, ha dimensione 3?
Ultima domanda, se V è sottospazio di $RR^3$ ciò vuol dire che $dim(V)=3$ o che $dim(V)<= 3$?
Grazie mille!

[LLG GKV]

se hai $ V $ e $ W $ due spazi vettoriali su stesso campo allora $ Vo+ V$ è lo spazio di tutti i vettori di tipo $ v+w=(v^ie_i)+(w^is_i) $ con $ e $ e $ s $ le rispettive basi. vale inoltre che $ u=v+w $ deve potersi scrivere in maniera unica come somma di un $ v $ e di un $ w $ ma se i tuoi spazi sono lo stesso allora $ s=e $, ecco la spiegazione di come mai $ Vo+ V ~= V $.

[anto_zoolander]

Ovviamente $V+V=V$ ma $VcapV=V$

Dunque non possono essere in somma diretta

[Bertucciamaldestra]

Grazie a entrambi