Dimensioni, codimensioni, intersezioni, unioni e linearità

[polpo55]

Salve, mi trovo ad affrontare un esercizio del genere:

-In $ V4(R) $ sia $ A $ il sottospazio affine descritto dalla seguente equazione:
$ x1+x2-x3-x4=1 $
e sia $ B=(2,1,1,2^(-1)) + L((4,2,2,1)) $

1) Indicare dimensioni e codimensioni di $ A, B, A∩B, Af(A∪B) $ e per ciascuno di essi dire anche se è un sottospazio lineare.

2) Determinare $ A∩B $

3) Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a)$ B $ è ortogonale ad $ A $ b) $ B⊆A $ c)$ B $ è parallelo ad $ A $ d)$ A∩B $ è un punto
e)$ A∩B = {0} $ f) $ Af (A∪B) = V4(R) $

4)Indicate un punto di $ A $ e determinate una base per la direzione di $ A $.

5)Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a)$ A+B $ è un sottospazio affine che ha come direzione la somma delle direzioni di A e B
b)$ A+B=A∪B $
c)$ A+B=Af(A∪B) $
d)$ A+B=L(A∪B) $


Qualcuno può aiutarmi? A breve posto la mia bozza di svolgimento.

[polpo55]

Avevo pensato ad uno svolgimento del genere:
1)
a) $A$ è certamente non lineare. Ricavo una rappresentazione parametrica: $(1,0,0,0) + L{(-1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)}.$ Questi ultimi 3 vettori sono linearmente indipendenti, quindi $dim(A)=3$, e $cod(A)=1.$
b) Ricavando una rappresentazione cartesiana di $B$, dovrebbe venire $ { ( x1-x4=0 ),( x2-2x4=0 ),( x3-2x4=0 ):} $ , e la conseguente rappresentazione parametrica $L{(4,2,2,1)}$. $B$ è quindi lineare e $dim(B)=1. cod(B)=3.$
c) Essendo $A$ affine non posso usare Grassmann per l'intersezione. Quindi prendo la rappresentazione cartesiana di $A$ e vi sostituisco i valori di $B$ così: $B$: $ { ( x1=4t ),( x2=2t ),( x3=2t ),( x4=t ):} $ $A: 4t+2t-2t-t=1 ⇒ t=1/3.$ Risostituisco $t in B$ e ottengo il vettore $(4/3,2/3,2/3,1/3)$ (combinazione lineare di (4,2,2,1). Quindi $dim(A∩B)=1 e cod(A∩B)=3$
Portando $A∩B$ in forma cartesiana, si vede chiaramente che è lineare.
d) Uso la formula $Af(A∪B)= P + L{(q-p),Ao,Bo}$, con $A= p+Ao e B=q+Bo$. Ottengo $Af(A∪B)=(1,0,0,0) + L{(-1,0,0,0),(-1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(4,2,2,1)}.$ Ora come trovare dimAf(A∪B) ? Pensavo di considerare i vettori della direzione, quindi ho creato la matrice associata e sono arrivato alla conclusione che $dimAf(A∪B)=4 e codAf(A∪B)=0$. In più, avendo punto d'appoggio, $Af(A∪B$) è affine.

Prima di risolvere i successivi punti mi rivolgo a voi: ho sbagliato qualcosa fino ad ora?