Dimensione Unione di 2 sottospazi, ma non dati con i generat

[S7EVIN]

Ciao ho questo esercizio:
$ V= { (x,y,z,t) in R^4 | x-y+t=0} $

$ W= { (x,y,z,t) in R^4 | x+y+2t=0} $

DETERMINARE la dimensione di U=V+W

Ora io so che dim(V+W) + $ dim(V nn W) $ = dimV + dim W
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Dovrei quindi calcolare la dimensione dei singoli sottospazi V e W e sottrarre la dimensione della loro intersezione. Ma il problema é che non so come fare per trovare la dimensione di V o di W singoli. Insomma se il sottospazio mi era dato come L(v1,v2,...,vn) cioe con dei generatori, allora applicando gli scarti successivi avrei trovato la base, ma cosi non so nemmeno da dove iniziare..

Grazie.

[Gi81]

Informalmente, basterebbe ragionare così: siamo in $RR^4$, c'è $1$ solo vincolo, quindi la dimensione è $4-1=3$.
In modo più rigoroso, bisogna trovare una base:
Prendiamo $V={(x,y,z,t) in RR^4|x-y+t=0}$
Deve valere $y=x+t$. Quindi la $y$ dipenderà da $x$ e $t$, mentre $x,z,t$ sono libere:
Ponendo $x=1$, $z=0$, $t=0$ si ha $u_1=(1,1,0,0)$;
Ponendo $x=0$, $z=1$, $t=0$ si ha $u_2=(0,0,1,0)$;
Ponendo $x=0$, $z=0$, $t=1$ si ha $u_3=(0,1,0,1)$.
Una possibile base è dunque $cc(B)={u_1,u_2,u_3}=> dim(V)=3$
Ok?

[S7EVIN]

perché si fa dipendere da un parametro? é questo che non capisco ? cioé quell equazione x-y +t =0 cosa rappresenta dei vettori? precisamente 3? dove il vettore z non c'é quindi é nullo?

[Gi81]

L'equazione $x-y+t=0$ relativamente al vettore $(x,y,z,t)$ sta a significare che le variabili $x,y,t$ sono legate da una relazione.
Il fatto che $z$ non ci sia non vuol dire che $z$ debba essere per forza nullo.
Vuol dire invece che $z$ non ha vincoli, può assumere qualunque valore.

[S7EVIN]

innanzitutto grazie gi8, ora mi é tutto piu chiaro. Un ultima domanda, ho risolto, trovando che la dimV=3 e dimW=3 quindi ora devo sottrarre la dim(V∩W) .

Per trovare la dim(V∩W) , metto a sistema le 2 equazioni, ma quando vado a scegliere il parametro non devo porre la z=k (che manca nelle 2 equazioni) ma piuttosto porre x=k e sviluppare le altre. E poi a z che valore do? O devo eliminarla, se si perché?

Possono risultare casi in cui devo assegnare 2 parametri anziché 1 (non mi riferisco a dim(V∩W) ma a trovare la sola DimV o dimW )?

Grazie

[Gi81]

Mettendo a sistema le due equazioni si ottiene:${(y=x+t),(x+y+2t=0):}=> {(y=x+t),(x+x+t+2t=0):}=>{(y=x+t),(2x+3t=0):}=>{(y=x+t),(x=-3/2t):}=>{(y=-1/2t),(x=-3/2t):}$
Dunque abbiamo che $t$ e $z$ sono "libere", mentre $x$ e $y$ dipendono da $t$.
Prova a scrivere una possibile base (hai già capito qual è la dimensione,vero? )

PS: una piccola correzione al titolo: $V+W$ non è lo spazio unione di $V$ e $W$ (quello si indica con $V uu W$), bensì è lo spazio somma, così definito:
$V+W={u in RR^4 | EE v in V, EE w in W $ tali che $u=v+w}$, ok?
Quindi noi sitamo cercando la dimensione della somma di sottospazi, non dell'unione.