Dimensione Spazione Vettoriale definito da un equazione cartesiana
Salve,
il mio testo, in un esercizio, indica con W il sottospazio vettoriale di $R^(4)$ di equazione $x+y+2z=0$ e chiede di indicarne dimensione e una possibile base.
Essendo $x+y+2z=0$ una curva di livello di $f(x,y,x)=x+y+2z$, quindi sottoinsieme di $R^(3)$, immagino il sottospazio suddetto possa avere dimensione 3.
Però non saprei proprio, sempre se questa "intuizione" è corretta, in base a che principio avrei potuto capire la dimensione di W nè tantomeno come trovare una base.
Finchè si parla di vettori (a,b,c,d) non ci sono problemi, ma quando si parla di spazi/sottospazi vettoriali definiti da equazioni cartesiane non capisco il nesso.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie in anticipo
il mio testo, in un esercizio, indica con W il sottospazio vettoriale di $R^(4)$ di equazione $x+y+2z=0$ e chiede di indicarne dimensione e una possibile base.
Essendo $x+y+2z=0$ una curva di livello di $f(x,y,x)=x+y+2z$, quindi sottoinsieme di $R^(3)$, immagino il sottospazio suddetto possa avere dimensione 3.
Però non saprei proprio, sempre se questa "intuizione" è corretta, in base a che principio avrei potuto capire la dimensione di W nè tantomeno come trovare una base.
Finchè si parla di vettori (a,b,c,d) non ci sono problemi, ma quando si parla di spazi/sottospazi vettoriali definiti da equazioni cartesiane non capisco il nesso.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie in anticipo
Risposte
Innanzi tutto occorre osservare che essendo in R^4 e non comparendo nell'equazione la quarta incognita (che ciameremo t) vuol dire che essa è un parametro libero. imponiamo dunque t=t che vuol dire che t puo' variare in R. l'equazione divene $ { ( x+y+2z=0 ),( t=t ):} $
a questo punto ricaviamo dalla prima equazione una delle tre variabili, in questo caso la x e scriviamo le altre due in funzione di se stesse (come abbiamo fatto con t):
$ { ( x=-y-2z ),( y=y ),( z=z ),( t=. ):} $
I vettori che formano una base del tuo spazio sono quelli che hanno come componenti le soluzioni del sistema, con le variabili prese in modo che tre siano zero e l'altra uno (ovvero ad esempio x=0,y=1,z=0,t=0) .
quando y=1 si ha $ { ( x=-y),( y=y ),( z=0 ), (t=0):} $
ovvero il vettore $ ( ( -1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $
ripeti il procedimento con z=1 e le altre 0 e con t=1 e le altre 0. ovvamente x=1 non da soluzioni, dunque avrai 3 vettori che generano il tuo spazio, che dunque avrà dimensione 3 come da te previsto
ovviamente sono soluzioni anche tutti i multipli dei vettori che trovi...
a questo punto ricaviamo dalla prima equazione una delle tre variabili, in questo caso la x e scriviamo le altre due in funzione di se stesse (come abbiamo fatto con t):
$ { ( x=-y-2z ),( y=y ),( z=z ),( t=. ):} $
I vettori che formano una base del tuo spazio sono quelli che hanno come componenti le soluzioni del sistema, con le variabili prese in modo che tre siano zero e l'altra uno (ovvero ad esempio x=0,y=1,z=0,t=0) .
quando y=1 si ha $ { ( x=-y),( y=y ),( z=0 ), (t=0):} $
ovvero il vettore $ ( ( -1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $
ripeti il procedimento con z=1 e le altre 0 e con t=1 e le altre 0. ovvamente x=1 non da soluzioni, dunque avrai 3 vettori che generano il tuo spazio, che dunque avrà dimensione 3 come da te previsto
ovviamente sono soluzioni anche tutti i multipli dei vettori che trovi...
Intanto grazie per la risposta!
Ho ancora qualche perplessità, per cortesia dimmi se quello che ho colto è corretto:
Il fatto che $x+y+2z=0$ sia sottospazio di $R^(4)$ significa che formalmente $x+y+2z=0$ = $x+y+2z+0t=0$
Dunque essendo i vettori di $W$ tutti i vettori le cui coordinate verificano l'equazione, il generico vettore appartenente al sottospazio $W$ è $(-y-2z,y,z,t)$, vettore che, volendo trovare una base per $W$, è esprimibile come combinazione lineare di $w1= (-1,1,0,0) ,w2 = (-2,0,1,0), w3 = (0,0,0,1) $
Inoltre posso affermare a priori che la dimensione di $W$ è 3 perchè il generico $w$ $\in$ $W$ dipende dalla scelta di 3 parametri ($y,z,t$) mentre uno ($x$) è dipendente dalla scelta degli altri?
Grazie in anticipo
Ho ancora qualche perplessità, per cortesia dimmi se quello che ho colto è corretto:
Il fatto che $x+y+2z=0$ sia sottospazio di $R^(4)$ significa che formalmente $x+y+2z=0$ = $x+y+2z+0t=0$
Dunque essendo i vettori di $W$ tutti i vettori le cui coordinate verificano l'equazione, il generico vettore appartenente al sottospazio $W$ è $(-y-2z,y,z,t)$, vettore che, volendo trovare una base per $W$, è esprimibile come combinazione lineare di $w1= (-1,1,0,0) ,w2 = (-2,0,1,0), w3 = (0,0,0,1) $
Inoltre posso affermare a priori che la dimensione di $W$ è 3 perchè il generico $w$ $\in$ $W$ dipende dalla scelta di 3 parametri ($y,z,t$) mentre uno ($x$) è dipendente dalla scelta degli altri?
Grazie in anticipo
Tutto cio' che hai detto e' corretto.
A partire dal tuo ultimo ragionamento possiamo affermare:
Se ci troviamo in R^n ed abbiamo un sistema di r equazioni linearmente indipendenti, di sicuro siamo in grado di scrivere r incognite in funzione delle altre (che sono n-r). Dunque il nostro spazio vettoriale avra' bisogno di tanti vettori come base quante sono le variabili indipendenti, ovvero (n-r). Dunque il nostro spazio avra' dimensione n-r.
Per inciso il numero di equazioni, che si nota essere la differenza tra la dimensione dello spazio "ospite " e la dimensione del nostro spazio vettoriale ( r=n-(n-r)) si chiama codimensione.
Spero ti sia tutto chiaro
A partire dal tuo ultimo ragionamento possiamo affermare:
Se ci troviamo in R^n ed abbiamo un sistema di r equazioni linearmente indipendenti, di sicuro siamo in grado di scrivere r incognite in funzione delle altre (che sono n-r). Dunque il nostro spazio vettoriale avra' bisogno di tanti vettori come base quante sono le variabili indipendenti, ovvero (n-r). Dunque il nostro spazio avra' dimensione n-r.
Per inciso il numero di equazioni, che si nota essere la differenza tra la dimensione dello spazio "ospite " e la dimensione del nostro spazio vettoriale ( r=n-(n-r)) si chiama codimensione.
Spero ti sia tutto chiaro
grazie infinite 
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