Dimensione spazio di endomorfismi

[abbas90]

Per ogni $ f:Vrarr V $ si consideri il sottospazio $ W_f={g:VrarrV|f@ g=g@f} $ .Mi dice di verificare che $W_f$ è un sottospazio e questo l'ho fatto. Dopo chiede che se $ f'=h@f@h^-1 $ per qualche $h:VrarrV$. Dimostrare che $ dimW_f'=dimW_f $ . Stavo pensando di vedere quella applicazione ($ f'=h@f@h^-1 $) come un endomorfismo tra $W_f$ e $W_f'$ dato che compongo f con degli isomorfismi ma non riesco a continuare. Un aiuto?

[floriano94]

E' sufficiente considerare che l'applicazione lineare h è evidentemente un isomorfismo.

Per risolvere il quesito è utile dimostrare una proposizione: date due applicazioni lineari $f$ e $g$ , le cui matrici associate in una base $mathfrak(B)$ sono rispettivamente $A$ e $B$, tali che $AB=BA$; siano $A'$ e $B'$ sono matrici associate all'applicazione lineare in una base $mathfrak(B)' \rArr A'B'=B'A' $.

Sia $H$ la matrice di cambiamento di base da $mathfrak(B)$ a $mathfrak(B)'$ , allora si ha che $A'=HAH^(-1)$ e $B'=HBH^(-1)$ $\rArr A'B'=(HAH^(-1))(HBH^(-1))=HA(H^(-1)H)BH^(-1)=HABH^(-1)=HBAH^(-1)=(HBH^(-1))(HAH^(-1))=B'A'$.

A questo punto la soluzione dell'esercizio è immediata: si è appena dimostrato che , prese tutte le matrici $B$ che soddisfano la condizione $AB=BA$, se si cambia la base ad $A$ allora esiste un isomorfismo che associa ad ogni matrice della base di $W_f$ una matrice della base di $W_f'$. La dimensione di tali spazi vettoriali rimane dunque invariata.