Dimensione sottospazio vettoriale

[Lehor]

Salve a tutti, ho risolto questo problema e vorrei capire se il procedimento è corretto

Traccia:

Si determini la dimensione del sottospazio di $E = E_1 nn E_2$ di $R^4$ ove

$E_1 = {(x, y, z, t) | x - y + z + t = 0, x + t = 0}, E_2 = {(x, y, z, t) | y - z = 0, x + 2y = 0}$

risposte:

A) 0 B)1 C)2 D)3

Io risolvo così:

per $E_1$ metto le equazioni a sistema e pongo $z = h$ e $t = k$

$\{(x - y + h + k = 0), (x + k = 0):} => \{(x = -k), (y = h), (z = h), (t = k):}$

e ottengo il vettore $v_1 = (-k, h, h, k)$

addesso pongo $h = 0, k = 1$ e trovo un generatore $(-1, 0, 0, 1)$
poi pongo $h = 1, k = 0$ e trovo il secondo generatore $(0, 1, 1, 0)$

costruisco poi una matrice con i due generatori

$U = ((-1,0),(0,1),(0,1),(1,0))$

e calcolo il rango della matrice che risulta essere $r(U) = 2$ dunque la dimensione del sottospazio $E_1$ è $2$

per $E_1$ metto le equazioni a sistema e pongo $y = l$ e $t = m$, e risulta:

$\{(x = -2l), (y = l), (z = l), (t = m):}$

e ottengo il vettore $v_2 = (-2l, l, l, m)$

addesso pongo $l = 0, m = 1$ e trovo un generatore $(0, 0, 0, 1)$
poi pongo $l = 1, m = 0$ e trovo il secondo generatore $(-2, 1, 1, 0)$

costruisco poi una matrice con i due generatori

$V = ((0,-2),(0,1),(0,1),(1,0))$

e calcolo il rango della matrice che risulta essere $r(V) = 2$ dunque la dimensione del sottospazio $E_2$ è $2$

adesso calcolo il determinante della matrice data da $(U + V)$

$|U+V| = |(-1,0,0,-2),(0,1,0,1),(0,1,0,1),(1,0,1,0)|$

dato che la seconda riga è uguale alla terza semplifico il tutto

$|U+V| = |(-1, 0, 0, -2),(0,1,0,1),(1,0,1,0)|$

la matrice ha rango $3$, dunque la dimensione del sottospazio $(E_1 + E_2)$ è $3$

per la formula di Grassman: $dim(E_1) + dim(E_2) = dim(E_1 + E_2) + dim(E_1 nn E_2)$

dunque $dim(E_1 nn E_2) = 1$

risposta B se è tutto corretto. Se ho sbagliato qualcosa nel procedimento anche a livello di nomenclatura o trattazione vi sarei grato se me la faceste notare dato che ne sapete più di me.

Grazie in anticipo per le risposte.

[Lehor]

editata la matrice U+V, avevo scritto male la formula

[Lorin1]

Io non capisco perchè fai tutto questo ragionamento lungo...
Di solito quando mi chiedono di studiare il sottospazio intersezione io metto direttamente a sistema tutte le equazioni che rappresentano i sottospazi, quindi nel mio caso:

$ { ( x-y+z+t=0 ),( x+t=0 ),( y-z=0 ),( x+2y=0 ):} => {(x=-t),(y=z),(x=-2y):}$

la prima equazione la posso togliere perchè sostituendo le prime due condizioni del sistema ottengo $0=0$

quindi posso dire ${(x=-2z),(y=z),(t=2z):}$ quindi tutte le soluzioni del sistema si presentano nella forma:

${(-2z,z,z,2z) : z in RR}$

quindi dato che $z$ è l'unico parametro libero allora posso concludere $dim(E_1nn E_2)=1 $

Senza chiamare in causa la formula di Grassmann e tutti i calcoli legati ad essa.

[Lehor]

"Lorin":Io non capisco perchè fai tutto questo ragionamento lungo...
Di solito quando mi chiedono di studiare il sottospazio intersezione io metto direttamente a sistema tutte le equazioni che rappresentano i sottospazi, quindi nel mio caso:

$ { ( x-y+z+t=0 ),( x+t=0 ),( y-z=0 ),( x+2y=0 ):} => {(x=-t),(y=z),(x=-2y):}$

la prima equazione la posso togliere perchè sostituendo le prime due condizioni del sistema ottengo $0=0$

quindi posso dire ${(x=-2z),(y=z),(t=2z):}$ quindi tutte le soluzioni del sistema si presentano nella forma:

${(-2z,z,z,2z) : z in RR}$

quindi dato che $z$ è l'unico parametro libero allora posso concludere $dim(E_1nn E_2)=1 $

Senza chiamare in causa la formula di Grassmann e tutti i calcoli legati ad essa.

hai ragione, così è molto più rapido ed efficace grazie Lorin!

[Lorin1]

Di nulla!