Dimensione sottospazio vettoriale

[lorenzo.ferrara.71653]

sia $A={((x),(y),(z)) in R^3 | 3y-z=0}$ e sia $H={f in End(R^3) | f(A)subeA}$;
provare che H è un sottospazio vettoriale di $End R^3$ e calcolarne la dimensione.

ho provato che H è un sottospazio vettoriale, ma ora non riesco a capire come calcolarne la dimensione. Qualcuno può aiutarmi per favore. Grazie!!!!

[megaempire]

devi costruirti una base...il numero degli elementi della base è la dimensione

[gugo82]

Chiaramente \(\dim H\leq \dim \operatorname{End}(\mathbb{R}^3) = \dim M_{3,3}(\mathbb{R})=9\).

Ora, dato che, fissata la base canonica, ogni \(f\in \operatorname{End}(\mathbb{R}^3)\) si rappresenta univocamente mediante una matrice \(M\in M_{3,3}(\mathbb{R})\), per determinare la dimensione di \(H\) basta determinare la dimensione dello spazio delle matrici che rappresentano gli elementi di \(H\).

Per la stessa definizione di \(A\), si ha:
\[
A=\{ (x,y,3y)\}_{x,y\in \mathbb{R}}\; ,
\]
dunque, presa una matrice:
\[
M=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \in M_{3,3}(\mathbb{R})
\]
e detto \(f\) l'endomorfismo da essa rappresentato, si ha:
\[
f(x,y,3y) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} x \\ y \\ 3y\end{pmatrix} = (a_{11} x + (a_{12} + 3 a_{13}) y, a_{21} x+ (a_{22}+3a_{23})y , a_{31} x+(a_{32}+3a_{33})y)
\]
e perciò:
\[
f(x,y,3y)\in A\qquad \Leftrightarrow \qquad 3\Big( a_{21} x+ (a_{22}+3a_{23})y \Big) - \Big( a_{31} x+(a_{32}+3a_{33})y\Big) =0
\]
il che equivale a:
\[
\tag{1} (3a_{21} - a_{31})\ x = \Big( (a_{32}+3a_{33}) - 3 (a_{22}+3a_{23})\Big)\ y \; .
\]
Visto che noi volevamo \(f(A)\subseteq A\), è chiaro che ciò si verifica se e solo se \(f(x,y,3y)\in A\) per ogni \(x,y\in \mathbb{R}\), ossia solo se la (1) sussiste per ogni \(x,y\in \mathbb{R}\); ma affinché ciò avvenga è necessario e sufficiente che siano contemporaneamente nulli i coefficienti di \(x\) e di \(y\) che figurano nella (1), cioé che risulti:
\[
\begin{cases}
3a_{21} - a_{31} =0 \\
(a_{32}+3a_{33}) - 3 (a_{22}+3a_{23}) =0
\end{cases} \qquad \Leftrightarrow \qquad \begin{cases}
3a_{21} - a_{31} =0 \\
a_{32}+3a_{33} - 3 a_{22} -9a_{23} =0\; .
\end{cases}
\]
Queste ultime relazioni costituiscono le equazioni cartesiane di un sottospazio di \(M_{3,3}(\mathbb{R})\) che è evidentemente isomorfo a \(H\); infatti si può provare che ogni isomorfismo individuato da una matrice \(M\) con elementi soddisfacenti le equazioni precedenti, i.e.:
\[ \tag{2}
M=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 3a_{21} & 3a_{22}+9a_{23}-3a_{33} & a_{33} \end{pmatrix}\; ,
\]
applica \(A\) in sé.

Pertanto, dato che le equazioni trovate sopra sono indipendenti, la dimensione di \(H\) o si ricava usando la relazione:
\[
\dim H = \text{numero di parametri necessari per individuare elementi di } H - \text{numero di equazioni indipendenti che legano i parametri} = 9 - 2 = 7\; ,
\]
oppure si contano esplicitamente i parametri liberi rimasti nella matrice \(M\) in (2) (che sempre \(7\) sono ).
Inoltre, la (2) consente di determinare esplicitamente una base di \(H\) attraverso le matrici rappresentanti gli endomorfismi; le matrici associate agli elementi di base sono:
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 9 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}\; .
\]