Dimensione sottospazio vettoriale

[streglio-votailprof]

Ciao a tutti, ho letto questa apparentemente semplice domanda ma non so come affrontarla.

Siano $U$ e $V$ sottospazi di uno spazio vettoriale $V$ con $dim U E' sempre vero che $UsubV$? Dimostrare o fornire un controesempio.

So che un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale che è a sua volta uno spazio vettoriale.
Un sottospazio deve essere chiuso rispetto alla somma e deve essere chiuso rispetto al prodotto per uno scalare.
Come devo raggionare??
grazie

[Thyeme]

Assolutamente no! Per esempio se fossimo in $R^3$ e si ha $U = <((1),(0),(0))> $ con dimensione 1, e $V =< ((0),(1),(0)), ((0),(0),(1))> $
hai che $U$ è la retta $e_1$ mentre $V$ è il piano $e_2, e_3$ che ovviamente non include $e_1$

per la dimostrazione bisogna ragionarci un po'...

[Thyeme]

Provo a darti una bozza di come può essere una possibile dimostrazione..
Si ha $U$ = combinazione lineare di $ => (alpha_1 v_1 + alpha_2 v_2 + ..... alpha_n v_n) $ e hai $X$= combinazione lineare di $ => (alpha_1 v_1 + alpha_2 v_2 + ..... alpha_n v_n + alpha_(n+1) v_(n+1) + .... alpha_r v_r)$
Ora se $n-r >= r$ hai $U = (alpha_1 v_1 + alpha_2 v_2 + ..... alpha_n v_n) $ e $V= (alpha_(n+1) v_(n+1) + .... alpha_r v_r)$ dove ovviamente l intersezione è vuota e l unione è $X$.. $(v_1, .... v_n, .... v_r )$ devono essere linearmente indipendenti!