Dimensione sottospazio

[greg_samsa]

ciao a tutti sono nuovo ma leggendo vedo che questo foro è utile.. quindi espongo il mio problema:


come faccio a calcolare la dimensione del sottospazio U=W+V di R4 essendo:

V={(x,y,z,t)ЄR4 | x-y+t=0}

W={(x,y,z,t)ЄR4 | x+y+2t=0}


HELP!

[ficus2002]

Puoi usare la formula di grassman:
$dim W + dim V = dim (W\cap V) + dim (W+V)$

V ha base $((1),(1),(0),(0)),((0),(0),(1),(0)),((0),(1),(0),(1))$ quindi dimensione 3;
W ha base $((1),(-1),(0),(0)),((0),(0),(1),(0)),((0),(-2),(0),(1))$ quindi dimensione 3;

L'intersezione è data dai vettori $((x),(y),(z),(t))$ che soddisfano il sistema
$x-y+t=0$
$x+y+2t=0$

quindi ha base
$((3),(1),(0),(-2)),((0),(0),(1),(0))$ e dimensione 2.
Per la formula di grassman, $U$ ha dimensione $3+3-2=4$ (e base $((1),(1),(0),(0)),((0),(0),(1),(0)),((0),(1),(0),(1)),((1),(-1),(0),(0))$).

[greg_samsa]

ma V e W hanno dimensione 3 perchè sono determinati da 1 equazione e 4 incognite, quindi una incognita è in funzione di 3 parametri giusto?

[Sk_Anonymous]

Si', piu' o meno l'idea intuitiva del perche' vengano di dimensione 3 e' quella, ma non prenderla come Teorema. Per concludere con rigore si cerca una base e si dimostra che e' una base.

[greg_samsa]

allora qual'è una regola esatta per trovare la dimensione di un sottospazio?

[Sk_Anonymous]

Mi sembrava di essere stato abbastanza chiaro: il modo corretto per procedere e' intuire la dimensione come dicevi tu, e poi dimostrare che e' quella andando a determinare una base, come ti e' stato illustrato di sopra dal mio collega.

[greg_samsa]

ok grazie mille