Dimensione sottospazio...

[m.coccetta99]

Salve , questo è il testo dell'esercizio :

Discutere la dimensione del sottospazio di R4

U = (a, b, 1, 0),(2a, a − b, 3 + c, 2) al variare di a, b, c ∈ R.

Con i vettori del sottospazio ci ho costruito la matrice 2x4

A= a b 1 0
2a a-b 3+c 2

Il mio ragionamento mi porta a dire che il rango di A può avere dimensione max=2 se e soltanto se il determinante di A (2x2)!= 0....... Prendo il "quadrato" 1 0 ed il suo determinante viene un numero Reale
3+c 2
sempre diverso da zero (2)...Quindo arrivo a dire che il rango di A (quindi la dim di U ) è sempre 2 per ogni a,b,c che appartengono ad R....è giusto questo ragionamento o mi sono perso qualcosa?

[gugo82]

Di nuovo “i” vettori?
Gli articoli non si usano a casaccio.

Inoltre, il rango di una matrice è un numero naturale, dunque dire che “il rango può avere dimensione max=2” non ha alcun senso.

L’esercizio è impostato bene, tuttavia.
Quello che ti manca è il fare i conti correttamente, il terminare i conti e l’uso di linguaggio appropriato.
La matrice che ha per righe i generatori di $U$ è:

$((a, b, 1, 0),(2a, a − b, 3 + c, 2))$

ed ha rango $1<= rho <=2$ per ogni scelta di $a,b,c in RR$ (perché?); orlando un minore di ordine $1$ certamente diverso da zero si ottengono tre determinanti $2 xx 2$: per comodità scegli come minore d’ordine $1$ non nullo da orlare quello costituito dall’elemento $2$ in basso a destra, ed ottieni:

$|( 1, 0),(3 + c, 2)| = 2 !=0$

per ogni $a,b,c in RR$. Che significa ciò?

[m.coccetta99]

che il determinante della 2x2 è sempre diverso da zero per ogni a,b,c che appartengono ad R , quindi il rango della matrice completa e di conseguenza la dimensione del sottospazio sarà sempre uguale a 2