Dimensione sottospazi di $RR^2$ e $RR^3$

[streglio-votailprof]

Salve, non ho capito come ragionare per rispondere a queste domande:

1) Siano $U$ e $W$ sottospazi di $RR^2$ con $dim U ne dimW$, È sempre vero che $UsubW$ oppure $WsubU$ ?

2) Siano $U$ e $W$ sottospazi di $RR^3$ con $dim U ne dimW$, È sempre vero che $UsubW$ oppure $WsubU$ ?

Ho pensato di dividere tutti i casi possibili ricordando che $dim U ne dimW$:
Per un sottospzio di $RR^2$:
se $dim U = 0$ $dim W$ sarà uguale a $1$ oppure $2$
se $dim U = 1$ $dim W$ sarà uguale a $0$ oppure $2$
se $dim U = 2$ $dim W$ sarà uguale a $0$ oppure $1$

Mi verebbe da dire che l'ipotesi è sempre vera, e la stessa cosa potrei dire per un sottospazio di $RR^3$ ma non credo sia corretto.
Come devo ragionare?
Grazie!

[_prime_number]

Ciao, l'ipotesi 1) si risolve come hai detto tu... magari aggiungerei qualche osservazione conclusiva, ovvero che quando uno sottospazio ha dimensione $0$ è per definizione il sottospazio formato solo dal vettore nullo, quindi incluso in ogni possibile sottospazio, quindi nel caso 1a) hai che $U\subset W$ e nel caso 1b) quando $dim W =0$ hai $W\subset U$. In alternativa quando un sottospazio di $\RR^2$ ha dimensione $2$ è necessariamente $\RR^2$ stesso quindi ogni volta che uno dei due ha dimensione $2$ l'altro è incluso in esso. Ecco in un esame è meglio scrivere queste cose, se no sembra che manchi la conclusione (anche se è ovvia, ma chi lo corregge non sa che tu sai )
Nelo caso di $\RR^3$ il gioco non funziona, infatti basta considerare come $U=\langle e_1, e_2\rangle$ e $W=\langle e_3\rangle$, come vedi dimensione diversa ma sono complementari.

Paola