Dimensione sottoinsiemi algebrici irriducibili
Buongiorno,
sto cercando un libro di testo in cui sia riportata la dimostrazione della seguente proposizione:
Siano $X$ e $Z$ sottoinsiemi algebrici irriducibili di $k^n$, con $Z \subset X$. Allora
$dim(X) \geq dim(Z)$ e $dim(X) = dim(Z)$ se e solo se $Z = X$.
dove con $k$ intendo un generico campo di caratteristica 0, non è mio interesse studiare il caso proiettivo di questa proposizione.
vi ringrazio anticipatamente per la collaborazione.
sto cercando un libro di testo in cui sia riportata la dimostrazione della seguente proposizione:
Siano $X$ e $Z$ sottoinsiemi algebrici irriducibili di $k^n$, con $Z \subset X$. Allora
$dim(X) \geq dim(Z)$ e $dim(X) = dim(Z)$ se e solo se $Z = X$.
dove con $k$ intendo un generico campo di caratteristica 0, non è mio interesse studiare il caso proiettivo di questa proposizione.
vi ringrazio anticipatamente per la collaborazione.
Risposte
Questo fatto e' in genere dimostrato come corollario di risultati piu' generali.
Ho dato un'occhiata a Harris e mi pare che il risultato piu' vicino a quello che vuoi sia il Corollario 11.13 (pg.139) con l'esercizio 11.14 che viene subito dopo. In ogni caso non e' esattamente quello che vuoi.
Su Hartshorne il tutto e' lasciato all'Esercizio 1.6 del primo capitolo.
Una fonte piu' mirata puo' essere trovata nella Prop. 1.14 (pg.6) del baby book di Mumford ("Algebraic Geometry 1: Complex projective varieties").
Ancora, una fonte precisa puo' essere la Prop. IV.1.3 (pg.70) di Perrin "Algebraic Geometry - An introduction".
Il tutto ovviamente dipende dalla definizione che hai di dimensione, che in geometria algebrica puo' essere data in diversi modi equivalenti tra loro.
Ho dato un'occhiata a Harris e mi pare che il risultato piu' vicino a quello che vuoi sia il Corollario 11.13 (pg.139) con l'esercizio 11.14 che viene subito dopo. In ogni caso non e' esattamente quello che vuoi.
Su Hartshorne il tutto e' lasciato all'Esercizio 1.6 del primo capitolo.
Una fonte piu' mirata puo' essere trovata nella Prop. 1.14 (pg.6) del baby book di Mumford ("Algebraic Geometry 1: Complex projective varieties").
Ancora, una fonte precisa puo' essere la Prop. IV.1.3 (pg.70) di Perrin "Algebraic Geometry - An introduction".
Il tutto ovviamente dipende dalla definizione che hai di dimensione, che in geometria algebrica puo' essere data in diversi modi equivalenti tra loro.
Mi serviva un risultato abbastanza diretto da poter citare, per questo motivo avevo escluso l'Harris che tratta il caso proiettivo. Inoltre un risultato ancora più preciso si può trovare nel Cox a pagina 432, Proposizione 10.
L'Hartshorne purtroppo non riportava la dimostrazione.
Sono riuscito a reperire il Perrin, direi che è quello che cercavo. In effetti l'approccio alla definizione di dimensione che utilizzo è un po' diverso da quello del Perrin, fondamentalmente parto dalla caratterizzazione che Perrin da' nel suo Teorema 2.3 a pagina 92. Ma pensavo di cavarmela lo stesso essendo le varie definizioni di dimensione equivalenti.
La ringrazio immensamente per la disponibilità e la cortesia della risposta.
L'Hartshorne purtroppo non riportava la dimostrazione.
Sono riuscito a reperire il Perrin, direi che è quello che cercavo. In effetti l'approccio alla definizione di dimensione che utilizzo è un po' diverso da quello del Perrin, fondamentalmente parto dalla caratterizzazione che Perrin da' nel suo Teorema 2.3 a pagina 92. Ma pensavo di cavarmela lo stesso essendo le varie definizioni di dimensione equivalenti.
La ringrazio immensamente per la disponibilità e la cortesia della risposta.
Si pero' non mi dare del lei eh che non sono cosi' vecchio...
Titolo del Cox che citi?
Titolo del Cox che citi?
ahah.. va bene scusami, non volevo essere irrispettoso 
Hai ragione, non ti ho scritto il nome del testo. Io avevo sotto mano "Ideals, Varieties and Algorithms" di D.Cox, J. Little e D. O'Shea, Springer Editore (2nda edizione).
Hai ragione, non ti ho scritto il nome del testo. Io avevo sotto mano "Ideals, Varieties and Algorithms" di D.Cox, J. Little e D. O'Shea, Springer Editore (2nda edizione).
@Kendo Ma che definizione di dimensione usi?
"Kendo":
Hai ragione, non ti ho scritto il nome del testo. Io avevo sotto mano "Ideals, Varieties and Algorithms" di D.Cox, J. Little e D. O'Shea, Springer Editore (2nda edizione).
Immaginavo...Cox ha un altro libro molto bello (senza coautori) in cui parte quasi da zero e definisce tutto abbastanza precisamente finche' non fa un salto per cominciare a parlare di varieta' toriche. Su CLO ci ho studiato solo la parte computazionale (groebner basis ed elimination theory). Al momento non ho nessuno dei due testi sotto mano.
"j18eos":
@Kendo Ma che definizione di dimensione usi?
Stando alla caratterizzazione che ha citato (quel Teo 2.3 a pg 92 di Perrin), sembrerebbe che la dimensione venga definita "nel senso della geometria differenziale", come dimensione dello spazio tangente su un punto regolare.
Perrin definisce la dimensione nel senso topologico, con le catene di chiusi (come fa Hartshorne). Non e' difficile far vedere che sono equivalenti, anche se forse e' addirttura piu' facile passare dalla dimensione dell'anello delle coordinate (almeno per l'equivalenza in geo differenziale dovrebbe tornare piu' facile, perche' tutto si riduce alla dimensione della componente di grado 1).
Stando alla caratterizzazione che ha citato (quel Teo 2.3 a pg 92 di Perrin), sembrerebbe che la dimensione venga definita "nel senso della geometria differenziale", come dimensione dello spazio tangente su un punto regolare.
Si esattamente, sto lavorando a cavallo tra la geometria differenziale e quella algebrica. Principalmente mi fa comodo vedere la dimensione in quel modo.
La dimostrazione della proposizione citata che conoscevo io si basava sull'utilizzo del grado di trascendenza di $k(X)$, dove $X$ è un sottoinsieme algebrico irriducibile di $k^n$, $k$ è un campo di caratteristica $0$ e con $k(X)$ indico il campo delle frazioni dell'anello delle coordinate. Siccome nel mio lavoro di tesi non utilizzo metodi trascendenti mi serviva un approccio leggermente diverso, quello del Perrin è ottimo.
"Kendo":Meglio detto, in geometria algebrica, campo delle funzioni razionali di \(\displaystyle X\)!
...con $ k(X) $ indico il campo delle frazioni dell'anello delle coordinate...
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