Dimensione nucleo
Salve a tutti,
circa il Teorema Della Dimensione $ dimV = dimKerf + dim Imf $ , la $f$ è iniettiva se e solo se è suriettiva, infatti $dimV$ e $dimImf$ sono uguali e quindi $dimKerf = 0$. Non capisco questo: una $f$ è iniettiva se $f(v)=0_W$ e questo accade solo per $v=0$ quindi solo se $kerf = {0}$ e questo zero è proprio un elemento, ma scrivendo $dimKerf = 0$ questo zero non è un elemento è semplicemente il numero di vettori $v$ tali che $f(v)=0_W$ e se la dimensione del nucleo è nulla allora non ci sono vettori tali che etc..
Vedo su internet e sui libri che se $dimKerf = 0$ allora $kerf = {0}$ ma sono due cose diverse giusto?
Quindi sfruttando questo teorema la $f$ è iniettiva per un altro motivo?
Grazie.
circa il Teorema Della Dimensione $ dimV = dimKerf + dim Imf $ , la $f$ è iniettiva se e solo se è suriettiva, infatti $dimV$ e $dimImf$ sono uguali e quindi $dimKerf = 0$. Non capisco questo: una $f$ è iniettiva se $f(v)=0_W$ e questo accade solo per $v=0$ quindi solo se $kerf = {0}$ e questo zero è proprio un elemento, ma scrivendo $dimKerf = 0$ questo zero non è un elemento è semplicemente il numero di vettori $v$ tali che $f(v)=0_W$ e se la dimensione del nucleo è nulla allora non ci sono vettori tali che etc..
Vedo su internet e sui libri che se $dimKerf = 0$ allora $kerf = {0}$ ma sono due cose diverse giusto?
Quindi sfruttando questo teorema la $f$ è iniettiva per un altro motivo?
Grazie.
Risposte
Spero di aver interpretato correttamente la tua domanda:
se hai una $f:V \rarr V$, allora $f è suriettiva <=> f è iniettiva$. Questo è vero poiché lo spazio di arrivo e di partenza è lo stesso. E' un corollario che mi pare di aver capito (?) tu non abbia bisogno della dimostrazione...
Parlando di iniettività: $f$ è iniettiva $<=> ker(f)={v: f(v)=0}={vec 0}$. Questa è una cosa che viene dimostrata e credo tu l'abbia sicuramente fatto. Non è difficile.
Nell'ultimo passaggio ho voluto mettere il simbolo del vettore di proposito per farti notare che il nucleo è un insieme di vettori NON vuoto: deve contenere infatti almeno $vec0$, cioè il vettore nullo, poiché proprio per definizione di applicazione lineare si deve avere $f(vec0)=vec0$. Il tuo dubbio se ho ben capito è quindi: "se c'è sempre almeno il vettore nullo nel nucleo, perché la dimensione nel caso in cui ci sia solo lui è $0$?). Il motivo è presto detto: lo spazio vettoriale nullo $\langle vec0 \rangle$ ha per convenzione dimensione $0$.
TI segnalo questo topicche fa al caso tuo:
se hai una $f:V \rarr V$, allora $f è suriettiva <=> f è iniettiva$. Questo è vero poiché lo spazio di arrivo e di partenza è lo stesso. E' un corollario che mi pare di aver capito (?) tu non abbia bisogno della dimostrazione...
Parlando di iniettività: $f$ è iniettiva $<=> ker(f)={v: f(v)=0}={vec 0}$. Questa è una cosa che viene dimostrata e credo tu l'abbia sicuramente fatto. Non è difficile.
Nell'ultimo passaggio ho voluto mettere il simbolo del vettore di proposito per farti notare che il nucleo è un insieme di vettori NON vuoto: deve contenere infatti almeno $vec0$, cioè il vettore nullo, poiché proprio per definizione di applicazione lineare si deve avere $f(vec0)=vec0$. Il tuo dubbio se ho ben capito è quindi: "se c'è sempre almeno il vettore nullo nel nucleo, perché la dimensione nel caso in cui ci sia solo lui è $0$?). Il motivo è presto detto: lo spazio vettoriale nullo $\langle vec0 \rangle$ ha per convenzione dimensione $0$.
TI segnalo questo topicche fa al caso tuo:
Faccio un paio di esempi presenti sul mio libro:
$1)$
Sia $ f:R^3rarr R^3 $ una certa applicazione lineare di un certo esempio che non scrivo (per i miei fini non è importante),
allora
$ dim Kerf = 3 - rk(A) = 3 - 2 = 1 $ quindi la dimensione del nucleo è $1$ ed in particolare $f$ non è iniettiva
$2)$
Sia $ f:R^3rarr R^3 $ un'altra applicazione lineare, allora
$ dim Kerf = 3 - rk(B) = 3 - 3 = 0$ cioè $Kerf={(0,0,0)}$ pertanto $f$ è iniettiva.
La mia domanda è: il siugnificato della dimensione del nucleo è proprio uguale ai vettori $v$ tale che $f(v) = 0$??
Mi spiego meglio (se riesco): $ dim Kerf = 1 $ vorrebbe dire che $v = 1$ e per definizione di iniettività tramite nucleo non è iniettiva perchè diverso da zero. Analogamente $ dim Kerf = 0 $ è iniettiva perchè $v = 0$ in questo caso (si è sempre considerato lo zero non come numero ma come vettore).
Avevo capito però che la dimensione è un numero che sta ad indicare proprio la quantità di vettori che fanno si che $f(v) = 0$.
Se come dico io fosse giusto allora diei che nell'esempio $1)$ essendo che la dimensone è $1$ allora ho un solo vettore $v$ tale che $f(v) = 0$, ma immagino non sia così.
E' questo che non capisco.
$1)$
Sia $ f:R^3rarr R^3 $ una certa applicazione lineare di un certo esempio che non scrivo (per i miei fini non è importante),
allora
$ dim Kerf = 3 - rk(A) = 3 - 2 = 1 $ quindi la dimensione del nucleo è $1$ ed in particolare $f$ non è iniettiva
$2)$
Sia $ f:R^3rarr R^3 $ un'altra applicazione lineare, allora
$ dim Kerf = 3 - rk(B) = 3 - 3 = 0$ cioè $Kerf={(0,0,0)}$ pertanto $f$ è iniettiva.
La mia domanda è: il siugnificato della dimensione del nucleo è proprio uguale ai vettori $v$ tale che $f(v) = 0$??
Mi spiego meglio (se riesco): $ dim Kerf = 1 $ vorrebbe dire che $v = 1$ e per definizione di iniettività tramite nucleo non è iniettiva perchè diverso da zero. Analogamente $ dim Kerf = 0 $ è iniettiva perchè $v = 0$ in questo caso (si è sempre considerato lo zero non come numero ma come vettore).
Avevo capito però che la dimensione è un numero che sta ad indicare proprio la quantità di vettori che fanno si che $f(v) = 0$.
Se come dico io fosse giusto allora diei che nell'esempio $1)$ essendo che la dimensone è $1$ allora ho un solo vettore $v$ tale che $f(v) = 0$, ma immagino non sia così.
E' questo che non capisco.
"davicos":
Faccio un paio di esempi presenti sul mio libro:
$1)$
Sia $ f:R^3rarr R^3 $ una certa applicazione lineare di un certo esempio che non scrivo (per i miei fini non è importante),
allora
$ dim Kerf = 3 - rk(A) = 3 - 2 = 1 $ quindi la dimensione del nucleo è $1$ ed in particolare $f$ non è iniettiva
Esatto non lo è. Infatti esisterà un certo vettore $v$ tale che $f(vecv)=vec0$. Anzi, qualsiasi vettore del tipo $alpha vecv$, per linearità della $f$, verrà mandato a $0$.
"davicos":
La mia domanda è: il siugnificato della dimensione del nucleo è proprio uguale ai vettori v tale che f(v)=0??
La dimensione del nucleo è la cardinalità di una base di vettori che vengono mandati a $0$.
"davicos":
2)
Sia f:R3→R3 un'altra applicazione lineare, allora
dimKerf=3−rk(B)=3−3=0 cioè Kerf={(0,0,0)} pertanto f è iniettiva.
Sì, il nucleo ha dimensione $0$, quindi contiene solo il vettore nullo. Pertanto l'unico vettore che viene mandato a $0$ è $vec 0$ e la funzione è iniettiva.
"davicos":
Mi spiego meglio (se riesco): dimKerf=1 vorrebbe dire che v=1 e per definizione di iniettività tramite nucleo non è iniettiva perchè diverso da zero. Analogamente dimKerf=0 è iniettiva perchè v=0 in questo caso (si è sempre considerato lo zero non come numero ma come vettore).
No, vuol dire che esiste un unico vettore $v$ che viene mandato a $0$, non che $v=((1),(1),(1))$. E' una cosa totalmente diversa.
"davicos":
Se come dico io fosse giusto allora diei che nell'esempio 1) essendo che la dimensone è 1 allora ho un solo vettore v tale che f(v)=0, ma immagino non sia così.
Esatto, ci sei.
Bene, infatti:
si collega al topic che mi avevi fatto vedere: zero è zero e non vuoto. Bene ci sono, ti ringrazio!!
"feddy":
Sì, il nucleo ha dimensione $0$, quindi contiene solo il vettore nullo. Pertanto l'unico vettore che viene mandato a $0$ è $vec 0$ e la funzione è iniettiva.
si collega al topic che mi avevi fatto vedere: zero è zero e non vuoto. Bene ci sono, ti ringrazio!!
Di nulla
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