Dimensione in C
Ciao a tutti, ho un dubbio su questo esercizio:
"In funzione del parametro $ h in CC$ dire qual'è la dimensione del sottospazio di $CC^3$ generato dai seguenti vettori:
$(h-1,h,-1)^t (h+1,1,h)^t (1+3h, h+2, 2h+h^2)^t$ "
Quindi io ho la seguente matrice:
$((h-1,h+1,1+3h),(h,1,h+2),(-1,h,2h+h^2))$
devo vedere se i tre vettori sono linearmente indipendenti, giusto?
Per h $!= +- i$ il rango è due quindi la dimensione è 2, è corretto?
Grazie
"In funzione del parametro $ h in CC$ dire qual'è la dimensione del sottospazio di $CC^3$ generato dai seguenti vettori:
$(h-1,h,-1)^t (h+1,1,h)^t (1+3h, h+2, 2h+h^2)^t$ "
Quindi io ho la seguente matrice:
$((h-1,h+1,1+3h),(h,1,h+2),(-1,h,2h+h^2))$
devo vedere se i tre vettori sono linearmente indipendenti, giusto?
Per h $!= +- i$ il rango è due quindi la dimensione è 2, è corretto?
Grazie
Risposte
"kika_17":
devo vedere se i tre vettori sono linearmente indipendenti, giusto?
Corretto
"kika_17":
Per h $!= +- i$ il rango è due quindi la dimensione è 2, è corretto?
A me per quei valori il rango risulta $1$. Vedi anche qui.
A parte i numeri, che lasciano il tempo che trovano, il tuo ragionamento è corretto:
Se $\mathbf{V}$ è lo spazio generato dagli $n$ vettori \( \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n\), ovvero \(\mathbf{V} := \text{span}\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n\rangle\), allora:
\[\text{dim}\mathbf{V} = \text{rank} \left[ \begin{matrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \dots & \mathbf{v}_n \end{matrix} \right] \]
oppure senza utilizzare il determinante.. utilizza Gauss..riduci a scala la matrice..
$ ( ( h-1 , h+1 , 1+3h ),( h , 1 , h+2 ),( -1 , h , 2h+h^2 ) ) $ \(\sim\) $ ( ( h-1 , h+1 , 1+3h ),( 1 , h , 1-2h ),( -1 , h , 2h+h^2 ) ) $ \(\sim\)
\(\sim\) $ ( ( h-1 , h+1 , 1+3h ),( 1 , h , 1-2h ),( 0 , 2h , 1+h^2 ) ) $
e discutere i vari casi..
$ ( ( h-1 , h+1 , 1+3h ),( h , 1 , h+2 ),( -1 , h , 2h+h^2 ) ) $ \(\sim\) $ ( ( h-1 , h+1 , 1+3h ),( 1 , h , 1-2h ),( -1 , h , 2h+h^2 ) ) $ \(\sim\)
\(\sim\) $ ( ( h-1 , h+1 , 1+3h ),( 1 , h , 1-2h ),( 0 , 2h , 1+h^2 ) ) $
e discutere i vari casi..
oppure senza utilizzare il determinante.. utilizza Gauss..riduci a scala la matrice..
$ ( ( h-1 , h+1 , 1+3h ),( h , 1 , h+2 ),( -1 , h , 2h+h^2 ) ) $ \(\sim\) $ ( ( h-1 , h+1 , 1+3h ),( 1 , h , 1-2h ),( -1 , h , 2h+h^2 ) ) $ \(\sim\)
\(\sim\) $ ( ( h-1 , h+1 , 1+3h ),( 1 , h , 1-2h ),( 0 , 2h , 1+h^2 ) ) $
e discutere i vari casi..
$ ( ( h-1 , h+1 , 1+3h ),( h , 1 , h+2 ),( -1 , h , 2h+h^2 ) ) $ \(\sim\) $ ( ( h-1 , h+1 , 1+3h ),( 1 , h , 1-2h ),( -1 , h , 2h+h^2 ) ) $ \(\sim\)
\(\sim\) $ ( ( h-1 , h+1 , 1+3h ),( 1 , h , 1-2h ),( 0 , 2h , 1+h^2 ) ) $
e discutere i vari casi..
oppure senza utilizzare il determinante.. utilizza Gauss..riduci a scala la matrice..
$ ( ( h-1 , h+1 , 1+3h ),( h , 1 , h+2 ),( -1 , h , 2h+h^2 ) ) $ \(\sim\) $ ( ( h-1 , h+1 , 1+3h ),( 1 , h , 1-2h ),( -1 , h , 2h+h^2 ) ) $ \(\sim\)
\(\sim\) $ ( ( h-1 , h+1 , 1+3h ),( 1 , h , 1-2h ),( 0 , 2h , 1+h^2 ) ) $
e discutere i vari casi..
$ ( ( h-1 , h+1 , 1+3h ),( h , 1 , h+2 ),( -1 , h , 2h+h^2 ) ) $ \(\sim\) $ ( ( h-1 , h+1 , 1+3h ),( 1 , h , 1-2h ),( -1 , h , 2h+h^2 ) ) $ \(\sim\)
\(\sim\) $ ( ( h-1 , h+1 , 1+3h ),( 1 , h , 1-2h ),( 0 , 2h , 1+h^2 ) ) $
e discutere i vari casi..
Ero convinta di aver risposto! 
A me risulta che per $ h=+- i $ il sottospazio ha dimensione 1, per tutti gli altri valori di $h$ il sottospazio ha dimensione 3.
è giusto?
Grazie
A me risulta che per $ h=+- i $ il sottospazio ha dimensione 1, per tutti gli altri valori di $h$ il sottospazio ha dimensione 3.
è giusto?
Grazie
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