Dimensione immagine e nucleo applicazione con parametri
Ciao ho un dubbio su un esercizio. Devo determinare al variare del parametro $\lambda$ appartenente ad R, la dimensione dell'immagine e del nucleo:
$f:R^3=>R^4 , f(x,y,z)=(x-y+(1- \lambda)z , \lambda x+2y+ \lambda z, 2x , \lambda y+2z)$
Ho svolto l'esercizio in questo modo:
Determino la matrice rappresentante l'applicazione lineare e calcolo il rango così da trovare la dimensione dell'immagine:
$((1, -1, 1-λ), (λ, 2, 0), (2, 0, 0), (0, λ, 2))$
prendo questo minore:
$ ((λ, 2),(2, 0))$
poiché il determinante è diverso da zero il rango è maggiore uguale a 2 e minore uguale a 3 quindi prendo il minore di ordine 3:
$((λ, 2, 0), (2, 0, 0), (0, λ, 2))$
poiché questo il det=-8 e non dipende dal parametro posso concludere che il rango della matrice è 3.
Quindi $Dim(Imf)=3$ e $Dim(Kerf)=0$
Vi chiedo se il procedimento è giusto oppure devo necessariamente mettere a sistema le equazioni.
grazie mille
$f:R^3=>R^4 , f(x,y,z)=(x-y+(1- \lambda)z , \lambda x+2y+ \lambda z, 2x , \lambda y+2z)$
Ho svolto l'esercizio in questo modo:
Determino la matrice rappresentante l'applicazione lineare e calcolo il rango così da trovare la dimensione dell'immagine:
$((1, -1, 1-λ), (λ, 2, 0), (2, 0, 0), (0, λ, 2))$
prendo questo minore:
$ ((λ, 2),(2, 0))$
poiché il determinante è diverso da zero il rango è maggiore uguale a 2 e minore uguale a 3 quindi prendo il minore di ordine 3:
$((λ, 2, 0), (2, 0, 0), (0, λ, 2))$
poiché questo il det=-8 e non dipende dal parametro posso concludere che il rango della matrice è 3.
Quindi $Dim(Imf)=3$ e $Dim(Kerf)=0$
Vi chiedo se il procedimento è giusto oppure devo necessariamente mettere a sistema le equazioni.
grazie mille
Risposte
mi sembra tutto corretto
non devi fare niente altro
non devi fare niente altro
ok perfetto grazie mille! 
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