Dimensione e base U intersecato W
Salve, un esercizio suddiviso in tre punti mi chiedeva base e dimensione di U (fatto); rappresentazione cartesiana del sottospazio U+W(fatta), e quella del titolo ( ovvero dim e base u inters w).
La traccia :
U={(x,y,z,t)€R^4 x-z=0,-y+z+t=0,x-y+t=0}
W=L((0,1,1,0),(0,2,1,1))
La dimensione di U è 2 e una base da me calcolata (1,1,1,0) e (0,1,0,1) e mi trovo con la soluzione proposta.
Rappresentazione cartesiana di U+W --> -y+z+t=0 ( anche qui mi trovo)
Mentre il terzo punto calcolando dimU+dimW-(dimU+W) mi trovo 0, quindi nessuna base mentre la soluzione mi dice 1. Il problema è che anche su altri esercizi mi trovo 0 e non è possibile che sono tutte con risultato 0. A questo punto il mio dubbio è che sbaglio qualcosa.
edit: la dimensione di w è 2( i vettori sono l.i) quindi mi trovo che la dimensione di U inters W è 1. Ora però dovrei trovare l'equazione cartesiana per W e ho fatto :
$ | ( x , y , z , t ),( 0 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 2 , 1 , 1 ) | $
ma viene x=0 e y-z-t=0 e non sono sicuro che sia fatto bene. Ho preso l'orlato di ordine 3 tra $ | ( y ,z , t ),( 1 , 1 , 0 ),( 2 , 1 , 1 ) | $ e
$ | ( x, y , t ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 2 , 1 ) | $ . Se qualcuno mi chiarisse le idee gliene sarei grato
La traccia :
U={(x,y,z,t)€R^4 x-z=0,-y+z+t=0,x-y+t=0}
W=L((0,1,1,0),(0,2,1,1))
La dimensione di U è 2 e una base da me calcolata (1,1,1,0) e (0,1,0,1) e mi trovo con la soluzione proposta.
Rappresentazione cartesiana di U+W --> -y+z+t=0 ( anche qui mi trovo)
Mentre il terzo punto calcolando dimU+dimW-(dimU+W) mi trovo 0, quindi nessuna base mentre la soluzione mi dice 1. Il problema è che anche su altri esercizi mi trovo 0 e non è possibile che sono tutte con risultato 0. A questo punto il mio dubbio è che sbaglio qualcosa.
edit: la dimensione di w è 2( i vettori sono l.i) quindi mi trovo che la dimensione di U inters W è 1. Ora però dovrei trovare l'equazione cartesiana per W e ho fatto :
$ | ( x , y , z , t ),( 0 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 2 , 1 , 1 ) | $
ma viene x=0 e y-z-t=0 e non sono sicuro che sia fatto bene. Ho preso l'orlato di ordine 3 tra $ | ( y ,z , t ),( 1 , 1 , 0 ),( 2 , 1 , 1 ) | $ e
$ | ( x, y , t ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 2 , 1 ) | $ . Se qualcuno mi chiarisse le idee gliene sarei grato
Risposte
Per trovare la rappresentazione cartesiana di un sottospazio, basta ridurre a scala la matrice che ha per colonna i vettori che lo generano e il vettore delle incognite $x,y,z,t$:
\[ \left [ \begin{matrix} 0 & 0 & x \\ 1 & 2 & y \\ 1 & 1 & z \\ 0 & 1 & t \end{matrix} \right ] \]
Dopo la riduzione tramite eliminazione di Gauss:
\[ \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & y \\ 0 & -1 & z-y \\ 0 & 0 & t+z-y \\ 0 & 0 & x \end{matrix} \right ] \]
Questa deve avere lo stesso rango della matrice
\[ \left [ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right ] \]
il che è possibile soltanto se è soddisfatto il sistema
\[ \spadesuit \begin{cases} t + z -y = 0 \\ x = 0 \end{cases} \]
Quindi [tex]\spadesuit[/tex] è la rappresentazione cartesiana del sottospazio vettoriale $W$.
Il risultato che hai ottenuto è corretto
\[ \left [ \begin{matrix} 0 & 0 & x \\ 1 & 2 & y \\ 1 & 1 & z \\ 0 & 1 & t \end{matrix} \right ] \]
Dopo la riduzione tramite eliminazione di Gauss:
\[ \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & y \\ 0 & -1 & z-y \\ 0 & 0 & t+z-y \\ 0 & 0 & x \end{matrix} \right ] \]
Questa deve avere lo stesso rango della matrice
\[ \left [ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right ] \]
il che è possibile soltanto se è soddisfatto il sistema
\[ \spadesuit \begin{cases} t + z -y = 0 \\ x = 0 \end{cases} \]
Quindi [tex]\spadesuit[/tex] è la rappresentazione cartesiana del sottospazio vettoriale $W$.
Il risultato che hai ottenuto è corretto
grazie 
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