Dimensione e base di uno spazio di funzioni
Nel bel mezzo di un esercizio mi si chiede di calcolare la dimensione di uno spazio di funzioni che dovrebbe essere così definito:
$A=:{psi in Hom(V,V) : psi(ul(e_2))=ul(0)}$ con ${ul(e_1),ul(e_2),ul(e_3),ul(e_4)}$ base di $V$.
Devo anche esibire una base di $A$. Il problema è che non ho idea di come procedere, qualcuno sarebbe così gentile da darmi un suggerimento?
$A=:{psi in Hom(V,V) : psi(ul(e_2))=ul(0)}$ con ${ul(e_1),ul(e_2),ul(e_3),ul(e_4)}$ base di $V$.
Devo anche esibire una base di $A$. Il problema è che non ho idea di come procedere, qualcuno sarebbe così gentile da darmi un suggerimento?
Risposte
Non ho studiato spazi di funzioni _ne ho avuto solo accenni.
Ma forse è interessante così, provare a pensarci.
A me è venuto in mente di rappresentare l'omomorfismo con una matrice quadrata $4"x"4$_
Quindi ci si riconduce a considerare spazi e sottospazi di matrici quadrate _cosa che, a sua volta, non ho studiato esplicitamente.
.
Bene! mi chiedevo proprio cosa avrei fatto, in questo sabato sera più o meno casalingo.
Ora ci penserei.
Certamente possiamo dire che tutte le righe di una matrice rappresentante uno degli omomorfismi debbano
essere ortogonali ad $ul(e_2)$ -perciò la seconda colonna è di tutti zeri.
Penso ora a come possa definire una base canonica per tutti gli omomorfismi.
Ma forse è interessante così, provare a pensarci.
A me è venuto in mente di rappresentare l'omomorfismo con una matrice quadrata $4"x"4$_
Quindi ci si riconduce a considerare spazi e sottospazi di matrici quadrate _cosa che, a sua volta, non ho studiato esplicitamente.
.Bene! mi chiedevo proprio cosa avrei fatto, in questo sabato sera più o meno casalingo.
Ora ci penserei.
Certamente possiamo dire che tutte le righe di una matrice rappresentante uno degli omomorfismi debbano
essere ortogonali ad $ul(e_2)$ -perciò la seconda colonna è di tutti zeri.
Penso ora a come possa definire una base canonica per tutti gli omomorfismi.
Ammetto di avere attinto informazioni, ma giusto per confermare quanto pensavo.
Posso definire una base canonica per lo spazio di matrici come l'insieme delle matrici
$A_(i,j)$ tali che l'elemento $(i,j)$-esimo sia $1$, e gli altri elementi nulli.
Così esse rappresentino gli omomorfismi $\psi_(ij)$ tali che $\psi_(ij)ul(e_k)$ dia $ul(e_i)$ per $j=k$ e $ul(0)$ per $j!=k$.
Lo spazio degli omomorfismi su $\RR^n$ ha dimensione $n"x"n$ _(eureka! -ho generalizzato da quanto sapevo
delle funzioni lineari da $\RR^n$ in $\RR$ -era d'altronde ovvio -ho un vettore
di tali applicazioni_).
Il sottospazio che consideravi ha dimensione$n"x"n-n$, cioè $4"x"4-4$perchè manda $ul(e_2)$ nel vettore nullo.
Una base è composta dalle funzioni $\psi_(ij)$ con $j!=2$.
(rappresentata da 12 delle 16 matrici "canoniche").
Posso definire una base canonica per lo spazio di matrici come l'insieme delle matrici
$A_(i,j)$ tali che l'elemento $(i,j)$-esimo sia $1$, e gli altri elementi nulli.
Così esse rappresentino gli omomorfismi $\psi_(ij)$ tali che $\psi_(ij)ul(e_k)$ dia $ul(e_i)$ per $j=k$ e $ul(0)$ per $j!=k$.
Lo spazio degli omomorfismi su $\RR^n$ ha dimensione $n"x"n$ _(eureka! -ho generalizzato da quanto sapevo
delle funzioni lineari da $\RR^n$ in $\RR$ -era d'altronde ovvio -ho un vettore
di tali applicazioni_).
Il sottospazio che consideravi ha dimensione$n"x"n-n$, cioè $4"x"4-4$perchè manda $ul(e_2)$ nel vettore nullo.
Una base è composta dalle funzioni $\psi_(ij)$ con $j!=2$.
(rappresentata da 12 delle 16 matrici "canoniche").
"orazioster":Infatti si risolve così!
...A me è venuto in mente di rappresentare l'omomorfismo con una matrice quadrata [tex]$4\times4$[/tex]...
Purtroppo non ho trovato un vecchio post in cui si risolve un problema analogo!
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