Dimensione e base di un sottospazio (confronto con la prof)
ciao a tutti!!!
mi è sorto un dubbio mentre facevo questo esercizio:
determinare dimensione e base del sottospazio $V={(x,y,z,t)" ":" "x+y=z+t,y+z=0}$
allora io procedevo così:
ponevo ad esempio $x=-y+z+t$ e $y=-z$ da cui ottenevo che un generico vettore di $V$ è $(2z+t,-z,z,t)$ ne segue che una base di $V$ è
$B={(2,-1,1,0),(1,0,0,1)}$ da cui segue che $dim(V)=2$
per me tutto fila e, sempre per me, anche il risultato è giusto senonché la mia professoressa contesta la mia soluzione, dicendomi che non è così che si risolve perché io ho determinato direttamente la soluzione invece avrei dovuto mettere le due equazioni a sistema, discuterne la compatibilità determinare il numero delle soluzioni e solo in fine determinare le soluzioni e quindi la base di $V$ e la sua dimensione.
Ora ho notato che anche il metodo consigliato/imposto dalla professoressa è giusto e mi porta allo stesso risultato, però il problema è che lei ha detto che il mio metodo è sbagliato, secondo voi? vorrei solo un parere che ne dite?
vi ringrazio anticipatamente
mi è sorto un dubbio mentre facevo questo esercizio:
determinare dimensione e base del sottospazio $V={(x,y,z,t)" ":" "x+y=z+t,y+z=0}$
allora io procedevo così:
ponevo ad esempio $x=-y+z+t$ e $y=-z$ da cui ottenevo che un generico vettore di $V$ è $(2z+t,-z,z,t)$ ne segue che una base di $V$ è
$B={(2,-1,1,0),(1,0,0,1)}$ da cui segue che $dim(V)=2$
per me tutto fila e, sempre per me, anche il risultato è giusto senonché la mia professoressa contesta la mia soluzione, dicendomi che non è così che si risolve perché io ho determinato direttamente la soluzione invece avrei dovuto mettere le due equazioni a sistema, discuterne la compatibilità determinare il numero delle soluzioni e solo in fine determinare le soluzioni e quindi la base di $V$ e la sua dimensione.
Ora ho notato che anche il metodo consigliato/imposto dalla professoressa è giusto e mi porta allo stesso risultato, però il problema è che lei ha detto che il mio metodo è sbagliato, secondo voi? vorrei solo un parere che ne dite?
vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Aspettiamo anche altri pareri però sinceramente non ho capito il metodo della tua professoressa perchè l'equazione che definisce un sottospazio è lineare omogenea, quindi ammette sicuramente la soluzione banale. Inoltre ogni equazione abbassa di $1$ il grado di libertà (detto volgarmente ogni equazione abbassa di $1$ la dimensione del sottospazio), quindi non riesco ad immaginare equazioni che determinino un sottospazio incompatibili tra loro, ma potrei essere smentito.
intanto grazie per la risposta, anche io la penso così.
ti faccio vedere proprio come mi ha detto di fare.
allora dato il sottospazio di prima aveva detto di mettere a sistema le due equazioni quindi
${(x+y-z-t=0),(y+z=0):}$ ora discutere il sistema quindi ricavare la matrice incompleta e quella orlata che in questo caso sono:
$A=((1,1,-1,-1),(0,1,1,0))$ e quella orlata $A'=((1,1,-1,-1,0),(0,1,1,0,0))$ si vede subito che il rango di queste due matrici è 2 quindi il sistema è compatibile ed ammette $infty^4-2$ soluzioni ora prendo il minore $M=((1,1),(0,1))$ che ha determinante diverso da zero e pongo $z=alpha$ e $t=beta$ e quindi ottengo:
${(x+y=alpha+beta),(y=-alpha):}$
risolvendo ottengo $(2alpha+beta,-alpha,alpha,beta)$ quindi $B={(2,-1,1,0)(1,0,0,1)}$
quindi lo stesso risultato di prima, ora mi chiedo perché mi ha detto che sbagliavo?
ti faccio vedere proprio come mi ha detto di fare.
allora dato il sottospazio di prima aveva detto di mettere a sistema le due equazioni quindi
${(x+y-z-t=0),(y+z=0):}$ ora discutere il sistema quindi ricavare la matrice incompleta e quella orlata che in questo caso sono:
$A=((1,1,-1,-1),(0,1,1,0))$ e quella orlata $A'=((1,1,-1,-1,0),(0,1,1,0,0))$ si vede subito che il rango di queste due matrici è 2 quindi il sistema è compatibile ed ammette $infty^4-2$ soluzioni ora prendo il minore $M=((1,1),(0,1))$ che ha determinante diverso da zero e pongo $z=alpha$ e $t=beta$ e quindi ottengo:
${(x+y=alpha+beta),(y=-alpha):}$
risolvendo ottengo $(2alpha+beta,-alpha,alpha,beta)$ quindi $B={(2,-1,1,0)(1,0,0,1)}$
quindi lo stesso risultato di prima, ora mi chiedo perché mi ha detto che sbagliavo?
La tua prof -credo- ti sta suggerendo, prima di buttarti a capofitto nella risoluzione del sistema, di fermarti un attimo e applicare il teorema di Rouchè-Capelli.
Infatti, è vero, come dice Mistake, che l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio vettoriale, ma il teorema di Rouchè-Capelli ti dice anche qualcos'altro: ti dice qual è la dimensione di tale sottospazio vettoriale.
Una volta determinata la dimensione, sai anche in funzione di quali parametri puoi determinare la soluzione.
In effetti, anche il tuo metodo, se stai attento, dovrebbe funzionare. Con quello della prof hai anche un ulteriore controllo sulla dimensione.
@ Mistake89:
Ecco la smentita:
$x+y+z+t=0$
Aggiungo l'equazione omogenea $2x+2y+2z+2t=0$ e non "abbasso di 1 il grado di libertà"!
Vabbè è un caso banale, ma ti smentisce.
Infatti, è vero, come dice Mistake, che l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio vettoriale, ma il teorema di Rouchè-Capelli ti dice anche qualcos'altro: ti dice qual è la dimensione di tale sottospazio vettoriale.
Una volta determinata la dimensione, sai anche in funzione di quali parametri puoi determinare la soluzione.
In effetti, anche il tuo metodo, se stai attento, dovrebbe funzionare. Con quello della prof hai anche un ulteriore controllo sulla dimensione.
@ Mistake89:
"mistake89":
Inoltre ogni equazione abbassa di $1$ il grado di libertà (detto volgarmente ogni equazione abbassa di $1$ la dimensione del sottospazio), quindi non riesco ad immaginare equazioni che determinino un sottospazio incompatibili tra loro, ma potrei essere smentito.
Ecco la smentita:
$x+y+z+t=0$
Aggiungo l'equazione omogenea $2x+2y+2z+2t=0$ e non "abbasso di 1 il grado di libertà"!
Vabbè è un caso banale, ma ti smentisce.
Ok grazie ad entrmbi.
vabbè ma credo che mistake intendesse equazioni linearmente indipendenti.
Ecco la smentita:
$x+y+z+t=0$
Aggiungo l'equazione omogenea $2x+2y+2z+2t=0$ e non "abbasso di 1 il grado di libertà"!
Vabbè è un caso banale, ma ti smentisce.
vabbè ma credo che mistake intendesse equazioni linearmente indipendenti.
hai ragione Avevo in realtà escluso il caso della proporzionalità, ma come al solito ho parlato senza rifletterci troppo! Grazie per l'appunto!
Avevo in realtà escluso il caso della proporzionalità, ma come al solito ho parlato senza rifletterci troppo! Grazie per l'appunto!
nel senso che se siamo in uno spazio vettoriale $n$ dimensionale, secondo quanto da me affermato, ogni equazione abbassa di un grado la dimensione del sottospazio. Quindi $1$ equazione allora $dim=n-1$, $2$ equazioni allora $dim=n-2$ e così via.
Quanto riportato da Cirasa smentisce questo fatto perchè hai $2$ equazioni ma un sottospazio di dim $3$, poichè le $2$ equazioni sono in realtà proporzionali tra loro.
Quanto riportato da Cirasa smentisce questo fatto perchè hai $2$ equazioni ma un sottospazio di dim $3$, poichè le $2$ equazioni sono in realtà proporzionali tra loro.
Si mistake non avevo letto bene il messaggio di cirasa, infatti ho modificato il mio post precedente dicendo appunto che secondo me tu intendevi equazioni linearmente indipendenti.
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